Dados os vetores
\mathbf{A}=5 \mathbf{i}+7 \mathbf{j} ; \mathbf{B}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j} ; \mathbf{C}=-4 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}. Determine a magnitude e direção de:
\mathbf{A}-\mathbf{B}-\mathbf{C};

Passo 1

O enunciado pede a magnitude e a direção do vetor \mathbf{A}-\mathbf{B}-\mathbf{C}. As informações dadas são os três vetores:
\mathbf{A}=5\mathbf{i}+7\mathbf{j},
\mathbf{B}=\mathbf{i}+2\mathbf{j},
\mathbf{C}=-4\mathbf{i}-4\mathbf{j}.

Passo 2

Como subtrair vetores em componentes (a regra essencial).
Se um vetor qualquer é \mathbf{v}=(v_x,v_y) e outro é \mathbf{w}=(w_x,w_y), então a diferença é feita componente a componente:
\mathbf{v}-\mathbf{w}=(v_x-w_x,\;v_y-w_y).
Aqui vamos aplicar isso sequencialmente a \mathbf{A}-\mathbf{B}-\mathbf{C}. Vou escrever as componentes de cada vetor explicitamente:
\mathbf{A}=(5,\,7),\quad \mathbf{B}=(1,\,2),\quad \mathbf{C}=(-4,\,-4).

Passo 3

Calcular as componentes de \mathbf{D}=\mathbf{A}-\mathbf{B}-\mathbf{C}.
Subtraindo componente a componente (primeiro nas abscissas, depois nas ordenadas):
D_x = 5 - 1 - (-4) = 5-1+4 = 8,
D_y = 7 - 2 - (-4) = 7-2+4 = 9.
Portanto o vetor resultante é
\mathbf{D}=\mathbf{A}-\mathbf{B}-\mathbf{C}=(8,\,9)=8\mathbf{i}+9\mathbf{j}.

Passo 4

Calcular a magnitude de \mathbf{D}.
A fórmula da magnitude (ou comprimento) de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2},
onde v_x é a componente no eixo x e v_y a componente no eixo y. Aplicando a \mathbf{D}=(8,9):
\|\mathbf{D}\|=\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}.
Uma aproximação numérica útil é
\|\mathbf{D}\|\approx12,04.

Passo 5

Calcular a direção de \mathbf{D} (ângulo com o eixo positivo x).
Para um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y) o ângulo \theta com o eixo x pode ser obtido por
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right),
desde que saibamos em qual quadrante o vetor está (isto evita erros de 180^\circ). No nosso caso D_x=8>0 e D_y=9>0, então \mathbf{D} está no primeiro quadrante e podemos usar direto a fórmula:
\theta=\arctan\!\left(\frac{9}{8}\right)=\arctan(1{,}125).
Calculando a aproximação em graus:
\theta\approx48{,}37^\circ.
Em radianos isso corresponde aproximadamente a
\theta\approx0{,}844\\ \text{rad}.

Resposta

\|\mathbf{A}-\mathbf{B}-\mathbf{C}\|=\sqrt{145}\approx12{,}04
\text{Direção: }\theta=\arctan\!\left(\dfrac{9}{8}\right)\approx48{,}37^\circçã

Exercícios relacionados