Se \mathbf{A}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j} e \mathbf{B}=-4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}. Determine os produtos escalar e vetorial de \mathbf{A} e \mathbf{B}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano e pede dois produtos. Dados:
\mathbf{A}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}
\mathbf{B}=-4\mathbf{i}+3\mathbf{j}
Perguntas a responder:
  • Determinar o produto escalar (dot product) \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}.
  • Determinar o produto vetorial (cross product) \mathbf{A}\times\mathbf{B}.

Passo 2

Entendendo e calculando o produto escalar.
Definição: para dois vetores em coordenadas (x,y,z),
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z,
onde U_x,U_y,U_z são as componentes de \mathbf{U} e V_x,V_y,V_z as de \mathbf{V}. Aqui nossos vetores estão no plano (2D), então as componentes z são zero: A_z=0 e B_z=0. Aplicando a fórmula:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Substituindo A_x=3, A_y=4, B_x=-4, B_y=3:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=3\cdot(-4)+4\cdot3+0\cdot0.
Calculando passo a passo:
3\cdot(-4)=-12,\qquad 4\cdot3=12,
logo
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=-12+12+0=0.
Interpretação útil: produto escalar zero indica que os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 3

Entendendo e calculando o produto vetorial.
Observação: o produto vetorial é naturalmente definido em \mathbb{R}^3. Para vetores em 2D podemos tratá‑los como vetores em 3D com componente z nula: \mathbf{A}=(3,4,0), \mathbf{B}=(-4,3,0). A fórmula (usando a matriz determinante) é
\mathbf{A}\times\mathbf{B}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Aqui A_x=3, A_y=4, A_z=0; B_x=-4, B_y=3, B_z=0. Desenvolvendo o determinante:
\mathbf{A}\times\mathbf{B}= \mathbf{i}\,(A_yB_z-A_zB_y) -\mathbf{j}\,(A_xB_z-A_zB_x) +\mathbf{k}\,(A_xB_y-A_yB_x).

Passo 4

Substituindo os valores e calculando cada componente.
Componente em \mathbf{i}:
A_yB_z-A_zB_y=4\cdot0-0\cdot3=0.
Componente em \mathbf{j}:
A_xB_z-A_zB_x=3\cdot0-0\cdot(-4)=0.
Componente em \mathbf{k}:
A_xB_y-A_yB_x=3\cdot3-4\cdot(-4)=9-(-16)=9+16=25.
Portanto
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=0\mathbf{i}-0\mathbf{j}+25\mathbf{k}=25\mathbf{k}.

Passo 5

Verificação rápida por interpretação geométrica (cheque mental): o módulo de \mathbf{A} é \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. O módulo de \mathbf{B} também é 5. Como \mathbf{A} e \mathbf{B} são ortogonais, o ângulo entre eles é 90^\circ, logo |\mathbf{A}\times\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin 90^\circ=5\cdot5\cdot1=25, consistente com o resultado vetorial 25\mathbf{k}. Isso confirma que nossos cálculos estão coerentes.

Resposta

\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=25\mathbf{k}

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