Se \mathbf{A}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j} e \mathbf{B}=-4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}. Determine os produtos escalar e vetorial de \mathbf{A} e \mathbf{B}.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano e pede dois produtos. Dados:
\mathbf{A}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}
\mathbf{B}=-4\mathbf{i}+3\mathbf{j}
Perguntas a responder:
Determinar o produto escalar (dot product) \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}.
Determinar o produto vetorial (cross product) \mathbf{A}\times\mathbf{B}.
Passo 2
Entendendo e calculando o produto escalar.
Definição: para dois vetores em coordenadas (x,y,z),
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z,
onde U_x,U_y,U_z são as componentes de \mathbf{U} e V_x,V_y,V_z as de \mathbf{V}. Aqui nossos vetores estão no plano (2D), então as componentes z são zero: A_z=0 e B_z=0. Aplicando a fórmula:
Interpretação útil: produto escalar zero indica que os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 3
Entendendo e calculando o produto vetorial.
Observação: o produto vetorial é naturalmente definido em \mathbb{R}^3. Para vetores em 2D podemos tratá‑los como vetores em 3D com componente z nula: \mathbf{A}=(3,4,0), \mathbf{B}=(-4,3,0). A fórmula (usando a matriz determinante) é
Verificação rápida por interpretação geométrica (cheque mental): o módulo de \mathbf{A} é \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. O módulo de \mathbf{B} também é 5. Como \mathbf{A} e \mathbf{B} são ortogonais, o ângulo entre eles é 90^\circ, logo |\mathbf{A}\times\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin 90^\circ=5\cdot5\cdot1=25, consistente com o resultado vetorial 25\mathbf{k}. Isso confirma que nossos cálculos estão coerentes.