Dados os vetores
\mathbf{A}=3 \hat{\boldsymbol{x}}+2 \hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{B}=3 \hat{\boldsymbol{x}}-4 \hat{\boldsymbol{y}}-5 \hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{C}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}
determine:
(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}, \quad \mathbf{A} \cdot(\mathbf{B} \times \mathbf{C}). São iguais?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em notação de componentes cartesianas
\mathbf{A}=3\hat{\boldsymbol{x}}+2\hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}},\quad \mathbf{B}=3\hat{\boldsymbol{x}}-4\hat{\boldsymbol{y}}-5\hat{\boldsymbol{z}},\quad \mathbf{C}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}},
e pede que calculemos o produto escalar do produto vetorial (\mathbf{A}\times\mathbf{B}) com \mathbf{C} e o produto escalar de \mathbf{A} com (\mathbf{B}\times\mathbf{C}). O conteúdo necessário é a definição de produto vetorial via determinante e de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes de cada vetor como tuplas:
\mathbf{A}=(3,\,2,\,-1),\quad \mathbf{B}=(3,\,-4,\,-5),\quad \mathbf{C}=(1,\,-1,\,1).

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{A}\times\mathbf{B} usando determinante:
\mathbf{A}\times\mathbf{B} =\begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{i}} & \hat{\boldsymbol{j}} & \hat{\boldsymbol{k}}\\\\ 3 & 2 & -1\\\\ 3 & -4 & -5 \end{vmatrix} =\bigl(2\cdot(-5)-(-1)\cdot(-4),\,-\bigl(3\cdot(-5)-(-1)\cdot3\bigr),\,3\cdot(-4)-2\cdot3\bigr)
\mathbf{A}\times\mathbf{B} =(-10-4,\,-(-15+3),\,-12-6) =(-14,\,12,\,-18).

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}:
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} =(-14,\,12,\,-18)\cdot(1,\,-1,\,1) =-14\cdot1+12\cdot(-1)+(-18)\cdot1 =-14-12-18 =-44.

Passo 5

Agora calculamos \mathbf{B}\times\mathbf{C} pelo mesmo procedimento:
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =\begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{i}} & \hat{\boldsymbol{j}} & \hat{\boldsymbol{k}}\\\\ 3 & -4 & -5\\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =\bigl(-4\cdot1-(-5)\cdot(-1),\,-\bigl(3\cdot1-(-5)\cdot1\bigr),\,3\cdot(-1)-(-4)\cdot1\bigr)
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =(-4-5,\,-(3+5),\,-3+4) =(-9,\,-8,\,1).

Passo 6

Por fim, calculamos o produto escalar \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}):
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =(3,\,2,\,-1)\cdot(-9,\,-8,\,1) =3\cdot(-9)+2\cdot(-8)+(-1)\cdot1 =-27-16-1 =-44.
Observamos que ambos os resultados coincidem, o que está de acordo com a propriedade de invariância cíclica do produto escalar triplo.

Resposta

(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} = -44 \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = -44
Sim, são iguais.

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