Dados os vetores
\mathbf{A}=3 \hat{\boldsymbol{x}}+2 \hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{B}=3 \hat{\boldsymbol{x}}-4 \hat{\boldsymbol{y}}-5 \hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{C}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}
determine:
\mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C}),(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C}. São iguais?

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\mathbf{A} = 3\hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}},\quad \mathbf{B} = 3\hat{\mathbf{x}} - 4\hat{\mathbf{y}} - 5\hat{\mathbf{z}},\quad \mathbf{C} = \hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}
e pede para calcular \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) e (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\,\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{C}, e verificar se são iguais. Vamos usar definições de produto escalar, produto vetorial e depois comparar os resultados.

Passo 2

Calcular os produtos escalares \mathbf{A}\cdot\mathbf{C} e \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}. Escrevendo as componentes: \mathbf{A}=(3,2,-1), \mathbf{B}=(3,-4,-5), \mathbf{C}=(1,-1,1). Então
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} =3\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1 =3 - 2 - 1 =0,
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} =3\cdot3 + 2\cdot(-4) + (-1)\cdot(-5) =9 - 8 + 5 =6.

Passo 3

Montar o vetor (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\,\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{C}:
(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\,\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{C} =0\cdot\mathbf{B} - 6\cdot\mathbf{C} =-6\,\mathbf{C} =-6\,(1,-1,1) =(-6,\,6,\,-6).

Passo 4

Calcular primeiro \mathbf{B}\times\mathbf{C}. Usando determinantes:
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =\bigl((-4)\cdot1 - (-5)\cdot(-1),\; (-5)\cdot1 - 3\cdot1,\; 3\cdot(-1) - (-4)\cdot1\bigr) =(-4-5,\,-5-3,\,-3+4) =(-9,\,-8,\,1).

Passo 5

Agora calcular \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}). Com \mathbf{A}=(3,2,-1) e \mathbf{B}\times\mathbf{C}=(-9,-8,1):
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =\bigl(2\cdot1 - (-1)\cdot(-8),\; (-1)\cdot(-9) - 3\cdot1,\; 3\cdot(-8) - 2\cdot(-9)\bigr) =(2-8,\;9-3,\;-24+18) =(-6,\,6,\,-6).

Passo 6

Comparando os resultados:
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =(-6,6,-6), \quad (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\,\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{C} =(-6,6,-6).
Portanto, os dois vetores são iguais, em concordância com a identidade vetorial \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).

Resposta

\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\,\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{C} = (-6,6,-6). Eles são iguais.

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