Dados os vetores
\mathbf{A}=3 \hat{\boldsymbol{x}}+2 \hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{B}=3 \hat{\boldsymbol{x}}-4 \hat{\boldsymbol{y}}-5 \hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{C}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}
determine:
Qual é o ângulo entre os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} ? Entre \mathbf{A} e \mathbf{C} ? \mathbf{B} e \mathbf{C} ? Entre \mathbf{A} e \mathbf{B} \times \mathbf{C} ?

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{A} = 3\,\hat{\mathbf{x}} + 2\,\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{B} = 3\,\hat{\mathbf{x}} - 4\,\hat{\mathbf{y}} - 5\,\hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{C} = \hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}.
Queremos calcular os ângulos entre os pares \mathbf{A} e \mathbf{B}, \mathbf{A} e \mathbf{C}, \mathbf{B} e \mathbf{C} e ainda o ângulo entre \mathbf{A} e o vetor \mathbf{B}\times\mathbf{C}. Para isso, usaremos o produto escalar para os primeiros três pares,
\cos\theta = \frac{\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}}{\|\mathbf{U}\|\,\|\mathbf{V}\|},
e, para o último, a mesma fórmula entre \mathbf{A} e \mathbf{B}\times\mathbf{C}.

Passo 2

Calcular \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}, \|\mathbf{A}\| e \|\mathbf{B}\|:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 3\cdot3 + 2\cdot(-4) + (-1)\cdot(-5) = 9 - 8 + 5 = 6,
\|\mathbf{A}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}, \quad \|\mathbf{B}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50}.
Logo,
\cos\theta_{AB} = \frac{6}{\sqrt{14}\,\sqrt{50}} = \frac{6}{\sqrt{700}} = \frac{3}{5\sqrt{7}} \quad\Longrightarrow\quad \theta_{AB} \approx 77{,}0^\circ.

Passo 3

Calcular \mathbf{A}\cdot\mathbf{C} e concluir o ângulo:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} = 3\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 3 - 2 - 1 = 0.
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, logo
\theta_{AC} = 90^\circ.

Passo 4

Calcular \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}, usando \|\mathbf{C}\| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} = 3\cdot1 + (-4)\cdot(-1) + (-5)\cdot1 = 3 + 4 - 5 = 2,
\cos\theta_{BC} = \frac{2}{\sqrt{50}\,\sqrt{3}} = \frac{2}{5\sqrt{6}} \quad\Longrightarrow\quad \theta_{BC} \approx 80{,}6^\circ.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{B}\times\mathbf{C}:
\mathbf{B}\times\mathbf{C} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\[6pt] 3 & -4 & -5 \\[3pt] 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-9)\,\hat{\mathbf{x}} + (-8)\,\hat{\mathbf{y}} + 1\,\hat{\mathbf{z}},
e sua norma é
\|\mathbf{B}\times\mathbf{C}\| = \sqrt{(-9)^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{146}.]

Passo 6

Calcular o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B}\times\mathbf{C}. Primeiro o produto escalar:
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = 3\cdot(-9) + 2\cdot(-8) + (-1)\cdot1 = -27 -16 -1 = -44.
Então
\cos\theta_{A,B\times C} = \frac{-44}{\|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{B}\times\mathbf{C}\|} = \frac{-44}{\sqrt{14}\,\sqrt{146}} \quad\Longrightarrow\quad \theta_{A,B\times C} \approx 167^\circ.

Resposta

\theta_{AB} \approx 77{,}0^\circ \theta_{AC} = 90^\circ \theta_{BC} \approx 80{,}6^\circ \theta_{A,B\times C} \approx 167^\circ

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