Dados os vetores
\mathbf{A}=3 \hat{\boldsymbol{x}}+2 \hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{B}=3 \hat{\boldsymbol{x}}-4 \hat{\boldsymbol{y}}-5 \hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{C}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}
determine:
Qual é a área formada por um triângulo que tem como lados os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} ? Idem para \mathbf{A} e \mathbf{C e} depois \mathbf{B} e \mathbf{C} ?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em componentes cartesianas:
\mathbf{A}=(3,2,-1),\quad \mathbf{B}=(3,-4,-5),\quad \mathbf{C}=(1,-1,1).
Queremos a área de cada triângulo cujos lados são pares desses vetores. A ideia é usar produto vetorial: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, o módulo de \mathbf{u}\times\mathbf{v} é a área do paralelogramo formado por eles, e a área do triângulo é metade disso:
\text{Área}_\triangle=\frac{1}{2}\bigl\lvert \mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr\rvert.Á

Passo 2

Calcular \mathbf{A}\times\mathbf{B} e sua magnitude para obter a área do triângulo formado por \mathbf{A} e \mathbf{B}.
Usando
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z - A_zB_y,\;A_zB_x - A_xB_z,\;A_xB_y - A_yB_x)
temos
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(-14,\;12,\;-18).
O módulo é
\bigl\lvert \mathbf{A}\times\mathbf{B}\bigr\rvert =\sqrt{(-14)^2+12^2+(-18)^2} =\sqrt{196+144+324} =\sqrt{664} =2\sqrt{166}.
Logo, a área do triângulo é
\frac{1}{2}\,2\sqrt{166}=\sqrt{166}.

Passo 3

Calcular \mathbf{A}\times\mathbf{C} para o triângulo de \mathbf{A} e \mathbf{C}.
Pela mesma fórmula,
\mathbf{A}\times\mathbf{C}=(1,\;-4,\;-5),
cujo módulo é
\bigl\lvert \mathbf{A}\times\mathbf{C}\bigr\rvert =\sqrt{1^2+(-4)^2+(-5)^2} =\sqrt{1+16+25} =\sqrt{42}.
A área do triângulo fica
\frac{1}{2}\,\sqrt{42}.

Passo 4

Calcular \mathbf{B}\times\mathbf{C} para o triângulo de \mathbf{B} e \mathbf{C}.
Temos
\mathbf{B}\times\mathbf{C}=(-9,\;-8,\;1),
e
\bigl\lvert \mathbf{B}\times\mathbf{C}\bigr\rvert =\sqrt{(-9)^2+(-8)^2+1^2} =\sqrt{81+64+1} =\sqrt{146}.
Então a área do triângulo é
\frac{1}{2}\,\sqrt{146}.

Resposta

Área do triângulo com lados \mathbf{A} e \mathbf{B}: \sqrt{166}.
Área do triângulo com lados \mathbf{A} e \mathbf{C}: \tfrac{1}{2}\sqrt{42}.
Área do triângulo com lados \mathbf{B} e \mathbf{C}: \tfrac{1}{2}\sqrt{146}.

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