Dados vetores
e constantes
, mostre que:
(a)
e
(a)
Passo 1
O enunciado dá vetores
e constantes
(aqui só vamos usar
e
). O que ele pede, explicitamente, é mostrar duas igualdades:
- provar que
; - provar que
.
Passo 2
Vou lembrar o que é o produto escalar (dot product) e o que significa ser zero.
Definição do produto escalar: para
e
,
Interpretação geométrica:
significa que
e
são ortogonais (perpendiculares). Vamos usar essa interpretação depois, mas primeiro precisamos calcular explicitamente.
Passo 3
Vou lembrar a fórmula do produto vetorial (cross product). Para
e
, o produto vetorial
tem componentes
Uma propriedade importante (que podemos provar com contas) é que
é ortogonal a
e a
; mostrar
e
é justamente provar essa ortogonalidade por cálculo.
Passo 4
Escrevo explicitamente
e
em coordenadas:
Então
Passo 5
Calculo
substituindo as componentes e expandindo termo a termo:
Agora agrupo termos iguais com sinais opostos:
Portanto, todos os termos se cancelam e obtemos
Passo 6
Faço a conta análoga para
. Substituindo:
Agora observe que cada termo aparece com seu oposto por permutações dos índices; por exemplo
aparece e é cancelado por
após reagrupamento adequado, e assim por diante. Expandindo e reagrupando vemos que todos os termos se anulam par a par, então
Observação curta (intuitiva): esse cancelamento/reflexo zero também é entendido porque o produto escalar de um vetor com outro vetor perpendicular é zero; o produto vetorial
é construído para ser perpendicular tanto a
quanto a
.]
Passo 7
Resultado final: as duas quantidades pedidas são zero, o que mostra que
é ortogonal a
e a
. Isso é uma propriedade muito usada em problemas de geometria vetorial e em física; guardar essa propriedade ajuda muito na prova.