Dados vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e constantes a, b \in \mathbb{R}, mostre que:
(a) \mathbf{u} \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=0 e \mathbf{v} \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=0

Passo 1

O enunciado dá vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 e constantes a,b\in\mathbb{R} (aqui só vamos usar \mathbf{u} e \mathbf{v}). O que ele pede, explicitamente, é mostrar duas igualdades:
  • provar que \mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0;
  • provar que \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0.

Passo 2

Vou lembrar o que é o produto escalar (dot product) e o que significa ser zero.
Definição do produto escalar: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Interpretação geométrica: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 significa que \mathbf{a} e \mathbf{b} são ortogonais (perpendiculares). Vamos usar essa interpretação depois, mas primeiro precisamos calcular explicitamente.

Passo 3

Vou lembrar a fórmula do produto vetorial (cross product). Para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} tem componentes
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Uma propriedade importante (que podemos provar com contas) é que \mathbf{u}\times\mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{u} e a \mathbf{v}; mostrar \mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0 e \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0 é justamente provar essa ortogonalidade por cálculo.

Passo 4

Escrevo explicitamente \mathbf{u} e \mathbf{v} em coordenadas:
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
Então
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).

Passo 5

Calculo \mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) substituindo as componentes e expandindo termo a termo:
\begin{aligned} \mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) &=u_1\big(u_2v_3-u_3v_2\big)+u_2\big(u_3v_1-u_1v_3\big)+u_3\big(u_1v_2-u_2v_1\big)\\[4pt] &=u_1u_2v_3-u_1u_3v_2+u_2u_3v_1-u_1u_2v_3+u_3u_1v_2-u_2u_3v_1. \end{aligned}
Agora agrupo termos iguais com sinais opostos:
\begin{aligned} &\;u_1u_2v_3 \;-\; u_1u_2v_3 \quad\text{(cancelam)}\\\ &\;-u_1u_3v_2 \;+\; u_3u_1v_2 \quad\text{(são iguais com sinais opostos, cancelam)}\\\ &\;u_2u_3v_1 \;-\; u_2u_3v_1 \quad\text{(cancelam)}. \end{aligned}ã
Portanto, todos os termos se cancelam e obtemos
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0.]

Passo 6

Faço a conta análoga para \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}). Substituindo:
\begin{aligned} \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) &=v_1\big(u_2v_3-u_3v_2\big)+v_2\big(u_3v_1-u_1v_3\big)+v_3\big(u_1v_2-u_2v_1\big)\\[4pt] &=v_1u_2v_3-v_1u_3v_2+v_2u_3v_1-v_2u_1v_3+v_3u_1v_2-v_3u_2v_1. \end{aligned}
Agora observe que cada termo aparece com seu oposto por permutações dos índices; por exemplo v_1u_2v_3 aparece e é cancelado por -v_2u_1v_3 após reagrupamento adequado, e assim por diante. Expandindo e reagrupando vemos que todos os termos se anulam par a par, então
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0.
Observação curta (intuitiva): esse cancelamento/reflexo zero também é entendido porque o produto escalar de um vetor com outro vetor perpendicular é zero; o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é construído para ser perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}.]

Passo 7

Resultado final: as duas quantidades pedidas são zero, o que mostra que \mathbf{u}\times\mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{u} e a \mathbf{v}. Isso é uma propriedade muito usada em problemas de geometria vetorial e em física; guardar essa propriedade ajuda muito na prova.

Resposta

\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0

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