Dados vetores
e constantes
, mostre que:
(d)
, onde
e
(d)
Passo 1
O enunciado dá vetores
e define
e
. Pede para mostrar a identidade
Vou listar claramente o que temos e o que precisamos obter:
- Temos
e quaisquer em . - As quantidades
, , e são as usadas na identidade. - O objetivo é provar a igualdade acima, ou seja, que o quadrado da norma do produto vetorial é igual a
.
Passo 2
Relembrando definições básicas (passo a passo, sem pular etapas).
- Produto escalar (dot): para
e ,
- Norma (comprimento) de um vetor:
Assim
e
significam
e
.
Passo 3
Relação do produto escalar com o ângulo entre vetores (essa é uma ferramenta-chave).
- Definir
como o ângulo entre e . Pela definição do produto escalar,
Isso significa que
quando
e
são diferentes de zero. (Se algum é zero, a identidade que vamos provar é fácil de verificar diretamente; vamos considerar o caso geral
e a conclusão vale por continuidade ou verificação direta.)
Passo 4
Propriedade do produto vetorial relacionada à área do paralelogramo gerado pelos vetores.
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular tanto a quanto a e cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por e . Em fórmula:
Aqui
é o seno do ângulo entre
e
. (Intuição: a área do paralelogramo é base vezes altura =
.)
Passo 5
Combinar as fórmulas trigonométricas com as definições para obter a identidade pedida.
- Primeiro escrevemos o quadrado da norma do produto vetorial usando o resultado do passo anterior:
- Aplicamos a identidade trigonométrica
:
- Agora usamos
(do passo 3) para reescrever o último termo:
- Substituindo de volta,
que é exatamente a identidade que queríamos mostrar.
Passo 6
Observação alternativa (útil para prova algébrica direta): determinante de Gram.
- Existe outra forma, puramente algébrica, de ver a mesma identidade: a quantidade
é igual ao determinante da matriz de Gram dos vetores e , isto é,
- Essa expressão vem da interpretação geométrica: o determinante da matriz de Gram dá o quadrado da área do paralelogramo gerado pelos vetores, que é exatamente
. É uma forma elegante e útil de lembrar a identidade.]