Dados vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e constantes a, b \in \mathbb{R}, mostre que:
(d) (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=(u v)^{2}-(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^{2}, onde u=\|\mathbf{u}\| e v=\|\mathbf{v}\|

Passo 1

O enunciado dá vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e define u=\|\mathbf{u}\| e v=\|\mathbf{v}\|. Pede para mostrar a identidade
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(u v)^{2}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^{2}.
Vou listar claramente o que temos e o que precisamos obter:
  • Temos \mathbf{u} e \mathbf{v} quaisquer em \mathbb{R}^3.
  • As quantidades \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, \mathbf{u}\times\mathbf{v}, u=\|\mathbf{u}\| e v=\|\mathbf{v}\| são as usadas na identidade.
  • O objetivo é provar a igualdade acima, ou seja, que o quadrado da norma do produto vetorial é igual a u^2v^2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2.

Passo 2

Relembrando definições básicas (passo a passo, sem pular etapas).
  • Produto escalar (dot): para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Norma (comprimento) de um vetor:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Assim u=\|\mathbf{u}\| e v=\|\mathbf{v}\| significam u^2=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} e v^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.

Passo 3

Relação do produto escalar com o ângulo entre vetores (essa é uma ferramenta-chave).
  • Definir \theta como o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Pela definição do produto escalar,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=uv\cos\theta.
Isso significa que
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{uv},
quando u e v são diferentes de zero. (Se algum é zero, a identidade que vamos provar é fácil de verificar diretamente; vamos considerar o caso geral u,v>0 e a conclusão vale por continuidade ou verificação direta.)

Passo 4

Propriedade do produto vetorial relacionada à área do paralelogramo gerado pelos vetores.
  • O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v} e cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. Em fórmula:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=uv\sin\theta.
Aqui \sin\theta é o seno do ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. (Intuição: a área do paralelogramo é base vezes altura = u\cdot (v\sin\theta)=uv\sin\theta.)

Passo 5

Combinar as fórmulas trigonométricas com as definições para obter a identidade pedida.
  • Primeiro escrevemos o quadrado da norma do produto vetorial usando o resultado do passo anterior:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2=(uv\sin\theta)^2.
  • Aplicamos a identidade trigonométrica \sin^2\theta=1-\cos^2\theta:
(uv\sin\theta)^2 = u^2v^2(1-\cos^2\theta)=u^2v^2 - u^2v^2\cos^2\theta.
  • Agora usamos \cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{uv} (do passo 3) para reescrever o último termo:
u^2v^2\cos^2\theta = u^2v^2\left(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{uv}\right)^2 = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2.
  • Substituindo de volta,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = u^2v^2 - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2,
que é exatamente a identidade que queríamos mostrar.

Passo 6

Observação alternativa (útil para prova algébrica direta): determinante de Gram.
  • Existe outra forma, puramente algébrica, de ver a mesma identidade: a quantidade \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2 é igual ao determinante da matriz de Gram dos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, isto é,
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2=\det\begin{pmatrix}\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} & \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\\[4pt] \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} & \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\end{pmatrix} = u^2v^2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2.
  • Essa expressão vem da interpretação geométrica: o determinante da matriz de Gram dá o quadrado da área do paralelogramo gerado pelos vetores, que é exatamente \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2. É uma forma elegante e útil de lembrar a identidade.]

Resposta

(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(u v)^{2}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^{2}

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