Dados vetores
e constantes
, mostre que:
(g)
(g)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Dados: vetores
e constantes (essas constantes não aparecem na parte (g), então não serão usadas aqui). - Pedido: mostrar a identidade
Passo 2
Definições e fórmulas básicas que vou usar (explicadas passo a passo).
- Produto escalar (dot product). Para
e ,
Isto é, multiplico componente a componente e somo.
- Produto vetorial (cross product). Para
e , o produto vetorial tem componentes dadas por
Ou seja, cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores.
Vou aplicar essas fórmulas com
e
, depois com
e
.
Passo 3
Escrever as componentes de
.
Se
e
, então
Passo 4
Calcular a primeira componente de
explicitamente e mostrá-la igual à primeira componente do membro direito.
Se
, então usando a fórmula do produto vetorial,
Substituindo as componentes de
(do Passo 3),
Agora escrevo
e
:
Então
Note que
, logo a última parcela some, e portanto
Assim a igualdade vale para a primeira componente.]
Passo 5
Calcular a segunda componente e verificar a igualdade (mesma ideia que no Passo 4).
Usando a fórmula,
Substituindo de Passo 3,
Agora compare com
Reorganizando como antes, os termos com
aparecem com
e
e os termos em
se cancelam da mesma forma (pois
). Assim obtemos
Passo 6
Calcular a terceira componente e verificar a igualdade (mesma ideia que nos Passos anteriores).
Substituindo,
Comparando com
vemos novamente que os termos em
somam zero na diferença, e portanto
Passo 7
Conclusão juntando as componentes.
Mostramos que as três componentes de
coincidem com as três componentes de
. Logo os vetores são iguais, isto é,