Dados vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e constantes a, b \in \mathbb{R}, mostre que:
(g) \mathbf{u} \times(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=\mathbf{v}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})-\mathbf{w}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Dados: vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3 e constantes a,b\in\mathbb{R} (essas constantes não aparecem na parte (g), então não serão usadas aqui).
  • Pedido: mostrar a identidade
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\mathbf{v}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{w}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).

Passo 2

Definições e fórmulas básicas que vou usar (explicadas passo a passo).
  • Produto escalar (dot product). Para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto é, multiplico componente a componente e somo.
  • Produto vetorial (cross product). Para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} tem componentes dadas por
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_1=a_2b_3-a_3b_2, \qquad (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_2=a_3b_1-a_1b_3, \qquad (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_3=a_1b_2-a_2b_1.
Ou seja, cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores.
Vou aplicar essas fórmulas com \mathbf{a}=\mathbf{v} e \mathbf{b}=\mathbf{w}, depois com \mathbf{a}=\mathbf{u} e \mathbf{b}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}.

Passo 3

Escrever as componentes de \mathbf{v}\times\mathbf{w}.
Se \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então
(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_1 = v_2w_3 - v_3w_2,
(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_2 = v_3w_1 - v_1w_3,
(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_3 = v_1w_2 - v_2w_1.

Passo 4

Calcular a primeira componente de \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) explicitamente e mostrá-la igual à primeira componente do membro direito.
Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), então usando a fórmula do produto vetorial,
\bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_1 = u_2\,(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_3 - u_3\,(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_2.
Substituindo as componentes de \mathbf{v}\times\mathbf{w} (do Passo 3),
\begin{aligned} \bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_1 &= u_2\,(v_1w_2 - v_2w_1) - u_3\,(v_3w_1 - v_1w_3)\\[4pt] &= u_2v_1w_2 - u_2v_2w_1 - u_3v_3w_1 + u_3v_1w_3\\[4pt] &= v_1\,(u_2w_2+u_3w_3) - w_1\,(u_2v_2+u_3v_3). \end{aligned}
Agora escrevo \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} e \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3, \qquad \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Então
\begin{aligned} v_1(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-w_1(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) &= v_1(u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3)-w_1(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)\\[4pt] &= v_1(u_2w_2+u_3w_3)-w_1(u_2v_2+u_3v_3) \\\ &\qquad\; +\; u_1\bigl(v_1w_1-w_1v_1\bigr). \end{aligned}
Note que v_1w_1-w_1v_1=0, logo a última parcela some, e portanto
\bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_1 = v_1(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-w_1(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).
Assim a igualdade vale para a primeira componente.]

Passo 5

Calcular a segunda componente e verificar a igualdade (mesma ideia que no Passo 4).
Usando a fórmula,
\bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_2 = u_3\,(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_1 - u_1\,(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_3.
Substituindo de Passo 3,
\begin{aligned} \bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_2 &= u_3\,(v_2w_3 - v_3w_2) - u_1\,(v_1w_2 - v_2w_1)\\[4pt] &= u_3v_2w_3 - u_3v_3w_2 - u_1v_1w_2 + u_1v_2w_1\\[4pt] &= v_2\,(u_3w_3+u_1w_1) - w_2\,(u_3v_3+u_1v_1). \end{aligned}
Agora compare com
v_2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-w_2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) = v_2(u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3)-w_2(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3).
Reorganizando como antes, os termos com u_2 aparecem com v_2 e w_2 e os termos em u_2 se cancelam da mesma forma (pois v_2u_2w_2-w_2u_2v_2=0). Assim obtemos
\bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_2 = v_2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-w_2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).]

Passo 6

Calcular a terceira componente e verificar a igualdade (mesma ideia que nos Passos anteriores).
\bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_3 = u_1\,(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_2 - u_2\,(\mathbf{v}\times\mathbf{w})_1.
Substituindo,
\begin{aligned} \bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_3 &= u_1\,(v_3w_1 - v_1w_3) - u_2\,(v_2w_3 - v_3w_2)\\[4pt] &= u_1v_3w_1 - u_1v_1w_3 - u_2v_2w_3 + u_2v_3w_2\\[4pt] &= v_3\,(u_1w_1+u_2w_2) - w_3\,(u_1v_1+u_2v_2). \end{aligned}
Comparando com
v_3(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-w_3(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) = v_3(u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3)-w_3(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3),
vemos novamente que os termos em u_3 somam zero na diferença, e portanto
\bigl(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr)_3 = v_3(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-w_3(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).]

Passo 7

Conclusão juntando as componentes.
Mostramos que as três componentes de \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) coincidem com as três componentes de \mathbf{v}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{w}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}). Logo os vetores são iguais, isto é,
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\mathbf{v}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{w}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).

Resposta

\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\mathbf{v}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{w}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

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