Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados
e constante
segue-se que:
(a)
(a)
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
- Dados: vetores
cujas componentes são funções diferenciáveis de e constante real . - O que pedir: mostrar a linearidade do operador divergente, ou seja provar que
- Informações relevantes fornecidas: nada mais além dos símbolos; pressupõe-se que as componentes de
e têm derivadas parciais suficientes para que a divergência exista.
Passo 2
Definição explícita da divergência e notação das componentes.
- Escreve-se as componentes dos vetores como
onde cada
e
são funções diferenciáveis.
- A divergência de um campo vetorial
é definida por
- Nosso alvo é aplicar essa definição ao vetor
.
Passo 3
Propriedade linear das derivadas parciais (lema essencial).
- A propriedade que vamos usar é que as derivadas parciais são lineares: para funções diferenciáveis
e e constante ,
- Justificativa curta (intuitiva baseada na definição limite): pela definição
a operação de limite é linear e constantes saem do quociente; aplicando isso a
ou
obtém-se as identidades acima. Assim, a derivada parcial preserva soma e multiplicação por escalar.
Passo 4
Aplicação da definição da divergência ao vetor
.
- Começando pela definição,
- Agora, usando a linearidade das derivadas parciais (do Passo 3) em cada termo:
e análogas para as outras componentes.
Passo 5
Agrupamento dos termos e conclusão.
- Somando as três equações parciais obtemos
- Reconhecendo as somas como divergências das componentes:
Isto prova a linearidade do operador divergente sob as hipóteses de diferenciabilidade das componentes.]
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (confirmação prática).
- Tome
, e . - Calcula-se
- Agora
diretamente:
- Por outro lado
que coincide com o resultado direto (observando que nos termos anteriores houve soma correta dos constantes), confirmando a propriedade no exemplo.