Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} e constante a \in \mathbb{R} segue-se que:
(a) \nabla \cdot(a \mathbf{u}+\mathbf{v})=a \nabla \cdot \mathbf{u}+\nabla \cdot \mathbf{v}

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Dados: vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 cujas componentes são funções diferenciáveis de (x,y,z) e constante real a\in\mathbb{R}.
  • O que pedir: mostrar a linearidade do operador divergente, ou seja provar que
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}.
  • Informações relevantes fornecidas: nada mais além dos símbolos; pressupõe-se que as componentes de \mathbf{u} e \mathbf{v} têm derivadas parciais suficientes para que a divergência exista.

Passo 2

Definição explícita da divergência e notação das componentes.
  • Escreve-se as componentes dos vetores como
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
onde cada u_i=u_i(x,y,z) e v_i=v_i(x,y,z) são funções diferenciáveis.
  • A divergência de um campo vetorial \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) é definida por
\nabla\cdot\mathbf{w}=\frac{\partial w_1}{\partial x}+\frac{\partial w_2}{\partial y}+\frac{\partial w_3}{\partial z}.
  • Nosso alvo é aplicar essa definição ao vetor a\mathbf{u}+\mathbf{v}=(a u_1+v_1,\; a u_2+v_2,\; a u_3+v_3).

Passo 3

Propriedade linear das derivadas parciais (lema essencial).
  • A propriedade que vamos usar é que as derivadas parciais são lineares: para funções diferenciáveis f e g e constante a,
\frac{\partial}{\partial x}(f+g)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(a f)=a\,\frac{\partial f}{\partial x}.
  • Justificativa curta (intuitiva baseada na definição limite): pela definição
\frac{\partial}{\partial x}h(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{h(x+h,y,z)-h(x,y,z)}{h},
a operação de limite é linear e constantes saem do quociente; aplicando isso a h=f+g ou h=a f obtém-se as identidades acima. Assim, a derivada parcial preserva soma e multiplicação por escalar.

Passo 4

Aplicação da definição da divergência ao vetor a\mathbf{u}+\mathbf{v}.
  • Começando pela definição,
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_1+v_1\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_2+v_2\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_3+v_3\bigr).
  • Agora, usando a linearidade das derivadas parciais (do Passo 3) em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_1+v_1\bigr) = a\,\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial v_1}{\partial x},
e análogas para as outras componentes.

Passo 5

Agrupamento dos termos e conclusão.
  • Somando as três equações parciais obtemos
\begin{aligned} \nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr) &= \bigl(a\,\tfrac{\partial u_1}{\partial x}+\tfrac{\partial v_1}{\partial x}\bigr) + \bigl(a\,\tfrac{\partial u_2}{\partial y}+\tfrac{\partial v_2}{\partial y}\bigr) + \bigl(a\,\tfrac{\partial u_3}{\partial z}+\tfrac{\partial v_3}{\partial z}\bigr)\\[4pt] &= a\!\left(\tfrac{\partial u_1}{\partial x}+\tfrac{\partial u_2}{\partial y}+\tfrac{\partial u_3}{\partial z}\right) + \left(\tfrac{\partial v_1}{\partial x}+\tfrac{\partial v_2}{\partial y}+\tfrac{\partial v_3}{\partial z}\right). \end{aligned}
  • Reconhecendo as somas como divergências das componentes:
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}.
Isto prova a linearidade do operador divergente sob as hipóteses de diferenciabilidade das componentes.]

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (confirmação prática).
  • Tome \mathbf{u}=(x^2,y,z), \mathbf{v}=(\sin x,\; y^2,\;0) e a=3.
  • Calcula-se
\nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial}{\partial x}x^2+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z=2x+1+1=2x+2,
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial}{\partial x}\sin x+\frac{\partial}{\partial y}y^2+\frac{\partial}{\partial z}0=\cos x+2y+0=\cos x+2y.
  • Agora \nabla\cdot\bigl(3\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr) diretamente:
3\mathbf{u}+\mathbf{v}=(3x^2+\sin x,\;3y+y^2,\;3z+0),
\nabla\cdot(3\mathbf{u}+\mathbf{v})=\frac{\partial}{\partial x}(3x^2+\sin x)+\frac{\partial}{\partial y}(3y+y^2)+\frac{\partial}{\partial z}(3z) =6x+\cos x+3+2y+3.
  • Por outro lado
3\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}=3(2x+2)+(\cos x+2y)=6x+6+\cos x+2y,
que coincide com o resultado direto (observando que nos termos anteriores houve soma correta dos constantes), confirmando a propriedade no exemplo.

Resposta

\nabla\cdot(a\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}

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