O valor de x que satisfaz a equação
(\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7})^{x}-(\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7})^{x}=140 \sqrt{2} é :
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6

Passo 1

O enunciado pede o valor de x que satisfaz a equação
\bigl(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\bigr)^{x}-\bigl(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\bigr)^{x}=140\sqrt{2}.
As informações que temos são:
  • Dois termos sendo subtraídos, cada um é uma potência com expoente x de uma raiz cúbica.
  • As radicandas são 5\sqrt{2}+7 e 5\sqrt{2}-7.
  • O lado direito é 140\sqrt{2}.
  • O problema é de escolha múltipla com opções (a) 2, (b) 3, \text{(c)} 4, (d) 5, (e) 6.

Passo 2

Para simplificar a escrita, defino
a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7},\qquad b=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}.
Explico por que essa substituição ajuda: trabalhar com a e b deixa claro possíveis relações algébricas entre essas duas quantidades (por exemplo soma, produto, potências), que podem simplificar a equação original.
Agora observe duas coisas importantes sobre a e b:
a^{3}=5\sqrt{2}+7,\qquad b^{3}=5\sqrt{2}-7.
Somando e multiplicando esses radicandos:
a^{3}+b^{3}=(5\sqrt{2}+7)+(5\sqrt{2}-7)=10\sqrt{2},
a^{3}b^{3}=(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)=(5\sqrt{2})^{2}-7^{2}=50-49=1.
Da última igualdade segue que
(a b)^{3}=1\quad\Rightarrow\quad a b=1,
pois estamos tomando a raiz real cúbica; logo b=\dfrac{1}{a}.

Passo 3

Reescrevo a equação original usando a e b. Ela fica
a^{x}-b^{x}=140\sqrt{2}.
Como b=1/a, isso é
a^{x}-a^{-x}=140\sqrt{2}.
Faço a substituição intermediária y=a^{x}. Assim a equação vira uma equação racional em y:
y-\frac{1}{y}=140\sqrt{2}.
Multiplico ambos os lados por y (lembrando que y>0 porque é potência de número real positivo):
y^{2}-1=140\sqrt{2}\,y.
Colocando em forma quadrática:
y^{2}-140\sqrt{2}\,y-1=0.

Passo 4

Resolvo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
y^{2}-140\sqrt{2}\,y-1=0,
o discriminante é
\Delta=(140\sqrt{2})^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=140^{2}\cdot2+4=39200+4=39204.
Observação: 39204=198^{2} (porque 200^{2}=40000 e 198^{2}=40000-800+4=39204), então \sqrt{\Delta}=198.
As raízes são
y=\frac{140\sqrt{2}\pm 198}{2}.
Isso dá
y_{1}=70\sqrt{2}+99,\qquad y_{2}=70\sqrt{2}-99.

Passo 5

Verifico qual raiz é admissível. Como y=a^{x}>0, precisamos de y>0.
  • Note que 70\sqrt{2}\approx70\cdot1{,}414\approx98{,}99, então 70\sqrt{2}-99 é ligeiramente negativo (aprox. -0{,}01). Portanto y_{2}<0 e é rejeitada.
  • Logo o único y possível é
y=70\sqrt{2}+99.

Passo 6

Agora relaciono y com potências de a. Lembro que a^{3}=5\sqrt{2}+7. Então
a^{6}=(a^{3})^{2}=(5\sqrt{2}+7)^{2}.
Faço o quadrado:
(5\sqrt{2}+7)^{2}= (5\sqrt{2})^{2}+2\cdot5\sqrt{2}\cdot7+7^{2}=50+70\sqrt{2}+49=99+70\sqrt{2}.
Portanto
a^{6}=99+70\sqrt{2}=y.
Como y=a^{x} e y=a^{6}, e como a>0 e a\neq1 (pois a^{3}=5\sqrt{2}+7>1), a função exponencial a^{t} é injetora, logo necessariamente
x=6.

Resposta

(e) 6

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