O valor de
que satisfaz a equação
é :
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6
Passo 1
O enunciado pede o valor de
que satisfaz a equação
As informações que temos são:
- Dois termos sendo subtraídos, cada um é uma potência com expoente
de uma raiz cúbica. - As radicandas são
e . - O lado direito é
. - O problema é de escolha múltipla com opções
2, 3, 4, 5, 6.
Passo 2
Para simplificar a escrita, defino
Explico por que essa substituição ajuda: trabalhar com
e
deixa claro possíveis relações algébricas entre essas duas quantidades (por exemplo soma, produto, potências), que podem simplificar a equação original.
Agora observe duas coisas importantes sobre
e
:
Somando e multiplicando esses radicandos:
Da última igualdade segue que
pois estamos tomando a raiz real cúbica; logo
.
Passo 3
Reescrevo a equação original usando
e
. Ela fica
Como
, isso é
Faço a substituição intermediária
. Assim a equação vira uma equação racional em
:
Multiplico ambos os lados por
(lembrando que
porque é potência de número real positivo):
Colocando em forma quadrática:
Passo 4
Resolvo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
o discriminante é
Observação:
(porque
e
), então
.
As raízes são
Isso dá
Passo 5
Verifico qual raiz é admissível. Como
, precisamos de
.
- Note que
, então é ligeiramente negativo (aprox. ). Portanto e é rejeitada. - Logo o único
possível é
Passo 6
Agora relaciono
com potências de
. Lembro que
. Então
Faço o quadrado:
Portanto
Como
e
, e como
e
(pois
), a função exponencial
é injetora, logo necessariamente
Resposta
(e) 6