Dados os vetores \mathrm{u}=(2,-1,0) e \mathrm{v}=(1,3,2) determine u \cdot v.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Vetores fornecidos: \mathrm{u}=(2,-1,0) e \mathrm{v}=(1,3,2).
  • O problema pede: determinar o produto escalar \mathrm{u}\cdot\mathrm{v}.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar para vetores em \mathbb{R}^3.
Se \mathrm{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathrm{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é dado por
\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores (por exemplo u_1 é a primeira componente de \mathrm{u}, v_2 é a segunda componente de \mathrm{v}, etc.). O produto escalar é simplesmente a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Propriedades rápidas que ajudam a entender e checar resultados:
  • É comutativo: \mathrm{u}\cdot\mathrm{v}=\mathrm{v}\cdot\mathrm{u}.
  • Se o produto escalar for negativo, os vetores formam um ângulo maior que 90^\circ (obtuso); se for positivo, o ângulo é menor que 90^\circ; se for zero, são ortogonais.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos vetores dados, identificando as componentes:
  • Para \mathrm{u}=(2,-1,0) temos u_1=2,\;u_2=-1,\;u_3=0.
  • Para \mathrm{v}=(1,3,2) temos v_1=1,\;v_2=3,\;v_3=2.
Substituindo na fórmula:
\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=(2)(1)+(-1)(3)+(0)(2).

Passo 4

Calcule cada produto e some:
(2)(1)=2,\qquad (-1)(3)=-3,\qquad (0)(2)=0.
Somando:
\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}=2+(-3)+0= -1.

Passo 5

Verificação rápida pela interpretação geométrica (checagem):
  • Normas: \|\mathrm{u}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{5} e \|\mathrm{v}\|=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}.
  • Cosseno do ângulo \theta entre eles:
\cos\theta=\frac{\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}}{\|\mathrm{u}\|\,\|\mathrm{v}\|}=\frac{-1}{\sqrt{5}\,\sqrt{14}}<0,
logo o resultado negativo faz sentido: os vetores formam um ângulo obtuso.

Resposta

-1

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