Dados os vetores u=(1,2), v=(4,-2) e w=(6,0), determine:
|(u \cdot w) \cdot w|

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,2),\; v=(4,-2) e \,w=(6,0) e pede para determinar \left|(u\cdot w)\cdot w\right|.
Informações relevantes fornecidas:
  • u=(1,2).
  • v=(4,-2). (não será necessário neste cálculo, mas foi dado)
  • w=(6,0).
  • A expressão a calcular é \left|(u\cdot w)\cdot w\right|.

Passo 2

Entender o que é (u\cdot w): o produto escalar (ou “dot product”) entre dois vetores em \mathbb{R}^2 é dado por
(x_1,x_2)\cdot(y_1,y_2)=x_1y_1+x_2y_2.
Aqui u\cdot w é um número (um escalar). Vamos calcular esse escalar usando os componentes de u e w:
u\cdot w = (1,2)\cdot(6,0)=1\cdot6 + 2\cdot0 = 6 + 0 = 6.

Passo 3

Interpretar (u\cdot w)\cdot w: como u\cdot w é um escalar, a expressão significa multiplicar o vetor w por esse escalar. Ou seja, se chamarmos \lambda = u\cdot w, então
\lambda w = (u\cdot w)\,w.
A multiplicação escalar em \mathbb{R}^2 multiplica cada componente do vetor pelo escalar. Com \lambda=6 e w=(6,0) temos
(u\cdot w)\,w = 6\,(6,0) = (36,0).

Passo 4

Entender o que significa a barra vertical externa \left|\cdot\right|: neste contexto é a norma (módulo) do vetor resultante. A norma de um vetor (a,b) em \mathbb{R}^2 é
\|(a,b)\|=\sqrt{a^2+b^2}.
Também existe uma propriedade útil: para todo escalar \alpha e vetor v vale
\|\alpha v\| = |\alpha|\;\|v\|.
Podemos usar qualquer um dos dois modos para calcular \left|(u\cdot w)\cdot w\right\|. Primeiro usando a propriedade:
\|(u\cdot w)\,w\| = |u\cdot w|\;\|w\|.
Já calculamos u\cdot w=6. Calculemos \|w\|:
\|w\|=\sqrt{6^2+0^2}=\sqrt{36}=6.
Portanto
\|(u\cdot w)\,w\| = |6|\cdot 6 = 6\cdot6 = 36.
Verificação direta (opcional): o vetor (u\cdot w)\,w é (36,0), cuja norma é \sqrt{36^2+0^2}=\sqrt{1296}=36, consistente com o resultado.

Passo 5

Resumo didático rápido pra guardar na prova: quando aparecer uma expressão do tipo \left|(\,u\cdot w\,)\,w\right|
  • calcule u\cdot w (escalares),
  • multiplique w por esse escalar ou use \|(u\cdot w)w\| = |u\cdot w|\|w\|,
  • compute a norma de w e multiplique pelo valor absoluto do escalar.
Exemplo extra: se u\cdot w=-2 e w=(3,4), então \|(u\cdot w)w\| = |-2|\cdot\sqrt{3^2+4^2}=2\cdot5=10. (Isso ilustra o papel do valor absoluto.)

Resposta

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