Determine um vetor perpendicular aos vetores u=(1,2,-1) e v=(3,0,2) utilizando produto vetorial.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \;u=(1,2,-1)\; e \;v=(3,0,2)\; e pede: determinar um vetor perpendicular a ambos, utilizando o produto vetorial.
Informações relevantes:
  • Vetor dado u=(1,2,-1).
  • Vetor dado v=(3,0,2).
  • Pedido: um vetor perpendicular a u e v, obtido por produto vetorial.

Passo 2

O que é o produto vetorial (de forma prática para a prova). Para vetores em \mathbb{R}^3 os vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) têm um produto vetorial u\times v que produz um vetor perpendicular a ambos. A fórmula componente a componente é:
u\times v=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Aqui:
  • u_1,u_2,u_3 são as componentes de u (no nosso caso u_1=1,\;u_2=2,\;u_3=-1).
  • v_1,v_2,v_3 são as componentes de v (no nosso caso v_1=3,\;v_2=0,\;v_3=2).
    Essa fórmula é boa para cálculo rápido à mão na prova; outra forma equivalente é usar o determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas o resultado é o mesmo.

Passo 3

Aplicando a fórmula componente a componente ao nossos vetores: primeiro identificamos as componentes explicitamente:
u_1=1,\quad u_2=2,\quad u_3=-1,
v_1=3,\quad v_2=0,\quad v_3=2.

Passo 4

Calcular a primeira componente (coordenada x):
u_2 v_3 - u_3 v_2 = 2\cdot 2 - (-1)\cdot 0 = 4 - 0 = 4.

Passo 5

Calcular a segunda componente (coordenada y):
u_3 v_1 - u_1 v_3 = (-1)\cdot 3 - 1\cdot 2 = -3 - 2 = -5.

Passo 6

Calcular a terceira componente (coordenada z):
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot 0 - 2\cdot 3 = 0 - 6 = -6.

Passo 7

Juntando as componentes obtemos o produto vetorial:
u\times v = (4,-5,-6).
Observação útil para prova: qualquer múltiplo escalar não nulo de (4,-5,-6) também é perpendicular a u e v. O vetor acima é uma escolha direta e inteira.

Passo 8

Verificação (sempre bom checar na prova calculando os produtos escalares). Mostrar que u\times v é perpendicular a u e a v calculando os produtos escalares:
u\cdot (u\times v)=1\cdot 4 + 2\cdot(-5) + (-1)\cdot(-6)=4-10+6=0,
v\cdot (u\times v)=3\cdot 4 + 0\cdot(-5) + 2\cdot(-6)=12+0-12=0.
Como ambos os produtos escalares são 0, u\times v é realmente perpendicular a u e a v.

Resposta

(4,-5,-6)

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