O que se pode afirmar sobre o ângulo formado entre os vetores u e v quando:
u \cdot v<0

Passo 1

O enunciado dá a informação u\cdot v<0 e pergunta o que se pode afirmar sobre o ângulo entre os vetores u e v.
Informações relevantes fornecidas:
  • O produto interno (produto escalar) u\cdot v é estritamente negativo: u\cdot v<0.
  • A pergunta é sobre o ângulo \theta entre u e v.

Passo 2

Vamos lembrar a relação geométrica fundamental entre produto escalar e ângulo. Para vetores u e v (não ambos nulos) vale a fórmula
u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\,\cos\theta,
onde:
  • \|u\| é o comprimento (norma) do vetor u,
  • \|v\| é a norma do vetor v,
  • \theta é o ângulo entre u e v, com 0\le\theta\le\pi,
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Explicando essa fórmula de forma simples: o produto escalar combina os comprimentos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles; portanto o sinal do produto escalar é o mesmo do sinal de \cos\theta, desde que \|u\| e \|v\| sejam positivos.

Passo 3

Interpretando a hipótese u\cdot v<0. Como normas são sempre não negativas e, se algum dos vetores fosse o vetor nulo, teríamos u\cdot v=0, a desigualdade estrita u\cdot v<0 implica que ambos os vetores têm norma positiva (ou seja, nenhum é o vetor zero). Logo podemos dividir a relação pela positiva \|u\|\,\|v\| e obter:
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}<0.

Passo 4

O que significa \cos\theta<0 para o ângulo \theta? No intervalo [0,\pi] (o intervalo possível para o ângulo entre vetores), temos:
  • \cos\theta>0 quando 0\le\theta<\tfrac{\pi}{2} (ângulo agudo),
  • \cos\theta=0 quando \theta=\tfrac{\pi}{2} (ângulo reto),
  • \cos\theta<0 quando \tfrac{\pi}{2}<\theta\le\pi (ângulo obtuso ou linear).
Como acabamos de obter \cos\theta<0, concluímos que
\tfrac{\pi}{2}<\theta<\pi.
Em palavras: o ângulo entre u e v é obtuso, isto é, maior que 90^\circ e menor que 180^\circ.

Passo 5

Interpretação geométrica e exemplo prático (para fixar). Geometricamente, u\cdot v<0 significa que a projeção de um vetor sobre o outro aponta em sentido oposto — os vetores “olham” em direções mais opostas do que concordantes. Exemplo simples em \mathbb{R}^2: tome u=(1,0) e v=(-1,1). Calcula-se
u\cdot v = 1\cdot(-1)+0\cdot1=-1<0,
e de fato o ângulo entre eles é \theta=135^\circ (obtuso), o que confirma a regra.

Resposta

O ângulo entre u e v é obtuso; isto é, \tfrac{\pi}{2}<\theta<\pi (equivalente a 90^\circ<\theta<180^\circ).

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