O que se pode afirmar sobre o ângulo formado entre os vetores
e
quando:
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pergunta o que se pode afirmar sobre o ângulo entre os vetores
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O produto interno (produto escalar)
é estritamente negativo: . - A pergunta é sobre o ângulo
entre e .
Passo 2
Vamos lembrar a relação geométrica fundamental entre produto escalar e ângulo. Para vetores
e
(não ambos nulos) vale a fórmula
onde:
-
é o comprimento (norma) do vetor , -
é a norma do vetor , -
é o ângulo entre e , com , -
é o cosseno desse ângulo.
Explicando essa fórmula de forma simples: o produto escalar combina os comprimentos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles; portanto o sinal do produto escalar é o mesmo do sinal de
, desde que
e
sejam positivos.
Passo 3
Interpretando a hipótese
. Como normas são sempre não negativas e, se algum dos vetores fosse o vetor nulo, teríamos
, a desigualdade estrita
implica que ambos os vetores têm norma positiva (ou seja, nenhum é o vetor zero). Logo podemos dividir a relação pela positiva
e obter:
Passo 4
O que significa
para o ângulo
? No intervalo
(o intervalo possível para o ângulo entre vetores), temos:
-
quando (ângulo agudo), -
quando (ângulo reto), -
quando (ângulo obtuso ou linear).
Como acabamos de obter
, concluímos que
Em palavras: o ângulo entre
e
é obtuso, isto é, maior que
e menor que
.
Passo 5
Interpretação geométrica e exemplo prático (para fixar). Geometricamente,
significa que a projeção de um vetor sobre o outro aponta em sentido oposto — os vetores “olham” em direções mais opostas do que concordantes. Exemplo simples em
: tome
e
. Calcula-se
e de fato o ângulo entre eles é
(obtuso), o que confirma a regra.
Resposta
O ângulo entre
e
é obtuso; isto é,
(equivalente a
).