Dados os vetores \mathrm{u}=(1,2,1), \mathrm{v}=(0,1,3), \mathrm{w}=(2,-1,1), determine o produto misto u. ( v \times w )
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \mathrm{u}=(1,2,1), \mathrm{v}=(0,1,3) e \mathrm{w}=(2,-1,1) e pede para determinar o produto misto \mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w}).
Informações dadas:
\mathrm{u}=(1,2,1).
\mathrm{v}=(0,1,3).
\mathrm{w}=(2,-1,1).
O que é pedido:
Calcular o escalar \mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w}).
Passo 2
Explicação do que vamos calcular (sem pular passos).
O produto vetorial \mathrm{v}\times\mathrm{w} é um vetor perpendicular a \mathrm{v} e \mathrm{w} cujas componentes podem ser obtidas por uma fórmula tipo determinante.
O produto escalar entre \mathrm{u} e esse vetor (ou seja, \mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w})) produz um número escalar, chamado produto misto ou triplo escalar.
Vou calcular primeiro \mathrm{v}\times\mathrm{w} componente a componente e depois fazer o produto escalar com \mathrm{u}.
Passo 3
Fórmula prática para o produto vetorial em coordenadas: se \mathrm{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathrm{w}=(w_1,w_2,w_3), então
Aqui v_1,v_2,v_3 são as componentes de \mathrm{v} e w_1,w_2,w_3 são as componentes de \mathrm{w}. Vou aplicar essa fórmula com \mathrm{v}=(0,1,3) e \mathrm{w}=(2,-1,1).
Passo 4
Calcular cada componente de \mathrm{v}\times\mathrm{w}:
Verificação opcional (método alternativo): o produto misto também é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}. Ou seja,