Dados os vetores \mathrm{u}=(1,2,1), \mathrm{v}=(0,1,3), \mathrm{w}=(2,-1,1), determine o produto misto u. ( v \times w )

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \mathrm{u}=(1,2,1), \mathrm{v}=(0,1,3) e \mathrm{w}=(2,-1,1) e pede para determinar o produto misto \mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w}).
Informações dadas:
  • \mathrm{u}=(1,2,1).
  • \mathrm{v}=(0,1,3).
  • \mathrm{w}=(2,-1,1).
O que é pedido:
  • Calcular o escalar \mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w}).

Passo 2

Explicação do que vamos calcular (sem pular passos).
  • O produto vetorial \mathrm{v}\times\mathrm{w} é um vetor perpendicular a \mathrm{v} e \mathrm{w} cujas componentes podem ser obtidas por uma fórmula tipo determinante.
  • O produto escalar entre \mathrm{u} e esse vetor (ou seja, \mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w})) produz um número escalar, chamado produto misto ou triplo escalar.
    Vou calcular primeiro \mathrm{v}\times\mathrm{w} componente a componente e depois fazer o produto escalar com \mathrm{u}.

Passo 3

Fórmula prática para o produto vetorial em coordenadas: se \mathrm{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathrm{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\mathrm{v}\times\mathrm{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1\big).
Aqui v_1,v_2,v_3 são as componentes de \mathrm{v} e w_1,w_2,w_3 são as componentes de \mathrm{w}. Vou aplicar essa fórmula com \mathrm{v}=(0,1,3) e \mathrm{w}=(2,-1,1).

Passo 4

Calcular cada componente de \mathrm{v}\times\mathrm{w}:
Primeira componente:
v_2w_3-v_3w_2 = 1\cdot 1 - 3\cdot(-1) = 1 + 3 = 4.
Segunda componente:
v_3w_1-v_1w_3 = 3\cdot 2 - 0\cdot 1 = 6 - 0 = 6.
Terceira componente:
v_1w_2-v_2w_1 = 0\cdot(-1) - 1\cdot 2 = 0 - 2 = -2.

Passo 5

Portanto
\mathrm{v}\times\mathrm{w}=(4,6,-2).
Comentário rápido: esse vetor é ortogonal a \mathrm{v} e \mathrm{w}; agora vamos fazer o produto escalar com \mathrm{u}.

Passo 6

Definição do produto escalar e cálculo final. Se \mathrm{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathrm{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathrm{a}\cdot\mathrm{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aplicando com \mathrm{u}=(1,2,1) e \mathrm{v}\times\mathrm{w}=(4,6,-2):
\mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w})=1\cdot 4 + 2\cdot 6 + 1\cdot(-2) = 4 + 12 - 2 = 14.

Passo 7

Verificação opcional (método alternativo): o produto misto também é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}. Ou seja,
\mathrm{u}\cdot(\mathrm{v}\times\mathrm{w})=\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 2 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Expandindo esse determinante (por exemplo pela primeira linha) obtém-se também 14, confirmando o cálculo anterior.]

Resposta

14

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