Calcule v_{1} \times\left(v_{2} \times v_{3}\right) (chamado duplo produto vetorial) para os vetores v_{1}, v_{2} \in v_{3} dados.
v_{1}=(1,-1,1), v_{2}=(0,0,-1) e v_{3}=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial duplo v_{1}\times\bigl(v_{2}\times v_{3}\bigr). Os vetores dados são:
\mathbf{v}_1=(1,-1,1),\qquad \mathbf{v}_2=(0,0,-1),\qquad \mathbf{v}_3=(1,0,1).
A tarefa é obter o vetor resultante numérico (componentes) de \mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3).

Passo 2

Escolha do método: existem duas formas naturais de calcular \mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3):
  • método direto: calcular primeiro \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 e depois \mathbf{v}_1\times\bigl(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3\bigr) usando a definição do produto vetorial;
  • usar a identidade do produto vetorial duplo (produto triplo vetorial), que reduz a conta a combinações lineares e produtos escalares (mais curto e menos propenso a erro).
    Vou usar a identidade porque é mais simples e totalmente suficiente aqui; depois faço uma verificação curta pelo método direto para você ver que ambos coincidem.

Passo 3

Lembrete das ferramentas que vou usar (explicação didática):
  • Produto escalar: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto dá um número (escalar).
  • Produto vetorial: para \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^3, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos; pode ser calculado pela regra do determinante (mas não vamos precisar do detalhe agora no método com identidade).
  • Identidade do produto vetorial duplo (identidade de Lagrange):
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}),
onde \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) significa multiplicar cada componente de \mathbf{b} pelo escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}. Essa identidade transforma um produto vetorial de produto vetorial em combinação linear de vetores com produtos escalares — muito prática para contas.

Passo 4

Calcular os produtos escalares necessários (vou aplicar a fórmula com \mathbf{a}=\mathbf{v}_1, \mathbf{b}=\mathbf{v}_2, \mathbf{c}=\mathbf{v}_3).
Calcule \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3 = 1\cdot1 + (-1)\cdot0 + 1\cdot1 = 1 + 0 + 1 = 2.
Calcule \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 1\cdot0 + (-1)\cdot0 + 1\cdot(-1) = 0 + 0 -1 = -1.

Passo 5

Aplicar a identidade do produto vetorial duplo:
\mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_2\,(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3)-\mathbf{v}_3\,(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2).
Substituindo os escalares encontrados:
\mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_2\cdot 2 - \mathbf{v}_3\cdot(-1)=2\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3.
Agora calcule essa combinação componente a componente.
2\mathbf{v}_2 = 2(0,0,-1)=(0,0,-2), \qquad \mathbf{v}_3=(1,0,1).
Somando:
2\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 = (0+1,\;0+0,\;-2+1)=(1,0,-1).

Passo 6

Verificação rápida pelo método direto (cheque): primeiro calcular \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 e depois \mathbf{v}_1\times(\cdot).
Calcule \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 via determinante:
\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(0\cdot1 - (-1)\cdot0)-\mathbf{j}(0\cdot1 - (-1)\cdot1)+\mathbf{k}(0\cdot0-0\cdot1).
Isso dá
\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 = \mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-(-1))+\mathbf{k}(0-0)= -\mathbf{j}(1) = (0,-1,0).
Agora \mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_1\times(0,-1,0):
\mathbf{v}_1\times(0,-1,0)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} =\mathbf{i}((-1)\cdot0 - 1\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot0-1\cdot0)+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-(-1)\cdot0).
Calculando:
\mathbf{i}(0 - (-1))-\mathbf{j}(0-0)+\mathbf{k}(-1-0)=\mathbf{i}(1)-\mathbf{j}(0)+\mathbf{k}(-1)=(1,0,-1).
Coincide com o resultado anterior, ótimo.]

Resposta

(1,0,-1)

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