A tarefa é obter o vetor resultante numérico (componentes) de \mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3).
Passo 2
Escolha do método: existem duas formas naturais de calcular \mathbf{v}_1\times(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3):
método direto: calcular primeiro \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 e depois \mathbf{v}_1\times\bigl(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3\bigr) usando a definição do produto vetorial;
usar a identidade do produto vetorial duplo (produto triplo vetorial), que reduz a conta a combinações lineares e produtos escalares (mais curto e menos propenso a erro).
Vou usar a identidade porque é mais simples e totalmente suficiente aqui; depois faço uma verificação curta pelo método direto para você ver que ambos coincidem.
Passo 3
Lembrete das ferramentas que vou usar (explicação didática):
Produto escalar: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto dá um número (escalar).
Produto vetorial: para \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^3, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos; pode ser calculado pela regra do determinante (mas não vamos precisar do detalhe agora no método com identidade).
Identidade do produto vetorial duplo (identidade de Lagrange):
onde \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) significa multiplicar cada componente de \mathbf{b} pelo escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}. Essa identidade transforma um produto vetorial de produto vetorial em combinação linear de vetores com produtos escalares — muito prática para contas.
Passo 4
Calcular os produtos escalares necessários (vou aplicar a fórmula com \mathbf{a}=\mathbf{v}_1, \mathbf{b}=\mathbf{v}_2, \mathbf{c}=\mathbf{v}_3).
Calcule \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3:
Verificação rápida pelo método direto (cheque): primeiro calcular \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 e depois \mathbf{v}_1\times(\cdot).
Calcule \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 via determinante: