Dados os vetores u, v e w quaisquer e k in R, tem-se
u cdot u >= 0 e u cdot u=0 se, e somente se, u=0=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de positividade do produto escalar em R^2, ou seja, que para todo vetor uinR^2 vale
ucdot u ,>=,0
e que ucdot u=0 se, e somente se, u=(0,0). Vamos usar a definição de produto escalar coordenada a coordenada e as propriedades de quadrados de números reais.

Passo 2

Seja u=(u1,u2). Pela definição do produto escalar em R^2 temos
ucdot u ;=; u1cdot u1 ;+; u2cdot u2 ;=; u1^2 + u2^2

Passo 3

Sabemos que, para qualquer número real x, vale x^2>=0. Logo, como u1^2>=0 e u2^2>=0, a soma
u1^2 + u2^2
também é não negativa. Concluímos que
ucdot u = u1^2 + u2^2 ,>=,0

Passo 4

Agora, ucdot u =0 implica
u1^2 + u2^2 = 0
Mas uma soma de dois quadrados só pode ser zero se cada quadrado for zero, isto é, u1^2=0 e u2^2=0. Portanto u1=0 e u2=0, de modo que u=(0,0). O raciocínio inverso também é imediato: se u=(0,0) então u1^2+u2^2=0, logo ucdot u=0.

Resposta

Mostramos que para todo uinR^2 vale ucdot u=u1^2+u2^2>=0 e que a soma de quadrados só zera quando u1=0 e u2=0, isto é, u=(0,0). Portanto a propriedade está provada.

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