Dados os vetores
e
quaisquer e
, tem-se
e
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de positividade do produto escalar em
, ou seja, que para todo vetor
vale
e que
se, e somente se,
. Vamos usar a definição de produto escalar coordenada a coordenada e as propriedades de quadrados de números reais.
Passo 2
Seja
. Pela definição do produto escalar em
temos
Passo 3
Sabemos que, para qualquer número real
, vale
. Logo, como
e
, a soma
também é não negativa. Concluímos que
Passo 4
Agora,
implica
Mas uma soma de dois quadrados só pode ser zero se cada quadrado for zero, isto é,
e
. Portanto
e
, de modo que
. O raciocínio inverso também é imediato: se
então
, logo
.
Resposta
Mostramos que para todo
vale
e que a soma de quadrados só zera quando
e
, isto é,
. Portanto a propriedade está provada.