Dados os vetores u, v e w quaisquer e k in R, tem-se
u cdot u >= 0 e u cdot u=0 se, e somente se, u=0=(0,0)
u cdot v=v cdot u.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades básicas do produto escalar em R^2:
  1. Positividade e anulação: para todo vetor u, tem-se
ucdot u >= 0
e
ucdot u = 0 iff u = (0,0)
  1. Simetria: para quaisquer vetores u e v,
ucdot v = vcdot u
Vamos usar a definição em coordenadas: se u=(u1,u2) e v=(v1,v2), então
ucdot v = u1v1 + u2v2

Passo 2

Prova de ucdot u>=0 e critério de anulação.
Pela definição,
ucdot u = u1u1 + u2u2 = u1^2 + u2^2
Como quadrados são sempre não-negativos, temos
u1^2 + u2^2 >= 0,
ou seja, ucdot u>=0.
Além disso, u1^2+u2^2=0 ocorre exatamente quando u1=0 e u2=0, isto é, u=(0,0).

Passo 3

Prova da simetria ucdot v = vcdot u.
Escrevendo ambos:
ucdot v = u1v1 + u2v2, vcdot u = v1u1 + v2u2
Mas na soma u1v1+u2v2 a ordem dos fatores não importa, logo
u1v1 + u2v2 = v1u1 + v2u2
e portanto
ucdot v = vcdot u

Resposta

As duas propriedades estão demonstradas:
  1. ,ucdot u >= 0 e ,ucdot u =0 se, e somente se, u=(0,0).
  2. ,ucdot v = vcdot u.

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