Dados os vetores
e
quaisquer e
, tem-se
e
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades básicas do produto escalar em
:
- Positividade e anulação: para todo vetor
, tem-se
e
- Simetria: para quaisquer vetores
e ,
Vamos usar a definição em coordenadas: se
e
, então
Passo 2
Prova de
e critério de anulação.
Pela definição,
Pela definição,
Como quadrados são sempre não-negativos, temos
ou seja,
.
Além disso, ocorre exatamente quando
e
, isto é,
.
Além disso,
Passo 3
Prova da simetria
.
Escrevendo ambos:
Escrevendo ambos:
Mas na soma
a ordem dos fatores não importa, logo
e portanto
Resposta
As duas propriedades estão demonstradas:
-
e se, e somente se, . -
.