Dados os vetores u, v quaisquer e k in R, tem-se
|u| >= 0 e |u|=0 se, e somente se, u=0=(0,0)
u cdot v=v cdot u
|k u|=|k| | u| |
|u+v| <=|u|+|v|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as propriedades da norma e do produto escalar em R^2. Vamos usar a definição
u = (u1,u2), v=(v1,v2), ucdot v = u1v1 + u2v2, |u| = raizucdot u
e provar cada item à parte.

Passo 2

Provar |u|>=0 e |u|=0 se, e somente se, u=0.
Pelo definição,
|u|=raizu1^2+u2^2,
Como soma de quadrados é não negativa, o radicando é >=0, logo |u|>=0. Além disso raizu1^2+u2^2=0 só se u1^2+u2^2=0, o que ocorre exatamente quando u1=0 e u2=0, ou seja, u=(0,0).

Passo 3

Provar ucdot v = vcdot u.
Pela definição do produto escalar em coordenadas,
ucdot v = u1v1 + u2v2 e vcdot u = v1u1 + v2u2
Como a multiplicação em R é comutativa, u1v1 = v1u1 e u2v2 = v2u2, logo ucdot v = vcdot u.

Passo 4

Provar |k,u| = |k|,|u| para todo kinR.
Temos
|k,u| = raiz(k,u)cdot(k,u) = raizk^2,(ucdot u) = raizk^2,raizucdot u = |k|,|u|

Passo 5

Provar |u+v|<=|u|+|v| (desigualdade triangular).
Primeiro usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
|ucdot v|<=|u|,|v|
Então
|u+v|^2 = (u+v)cdot(u+v) = |u|^2 + 2,ucdot v + |v|^2 <= |u|^2 + 2,|u||v| + |v|^2 = (|u|+|v|)^2
Como ambos os lados são não negativos, basta extrair raiz para obter
|u+v|<=|u|+|v|.

Resposta

|u|>=0 e |u|=0Leftrightarrow u=0
ucdot v = vcdot u
|k,u| = |k|,|u|
|u+v|<=|u|+|v|

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