Dados os vetores
quaisquer e
, tem-se
e
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as propriedades da norma e do produto escalar em
. Vamos usar a definição
e provar cada item à parte.
Passo 2
Provar
e
se, e somente se,
.
Pelo definição,
Pelo definição,
Como soma de quadrados é não negativa, o radicando é
, logo
. Além disso
só se
, o que ocorre exatamente quando
e
, ou seja,
.
Passo 3
Provar
.
Pela definição do produto escalar em coordenadas,
Pela definição do produto escalar em coordenadas,
Como a multiplicação em
é comutativa,
e
, logo
.
Passo 4
Provar
para todo
.
Temos
Temos
Passo 5
Provar
(desigualdade triangular).
Primeiro usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Primeiro usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Então
Como ambos os lados são não negativos, basta extrair raiz para obter
.