Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=p(x)+x p^prime(x) ; (Joana Sena)

Passo 1

O enunciado define T: P2( R)to P2( R) por
Tl(p(x)r)=p(x)+x,p'(x)
O conteúdo é autovalores, autoespaços, multiplicidades algébrica e geométrica e critério de diagonalizabilidade. Vamos usar base canônica e caracterizar T nessa base.

Passo 2

Escolhemos a base canônica 1,x,x^2. Calculamos
T(1)=1+ xcdot0=1, T(x)=x + xcdot1=2x, T(x^2)=x^2 + xcdot2x=3x^2
Logo, a matriz de T nessa base é diagonal:
[T] = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Passo 3

O polinômio característico de [T] é
chiT(lambda) = detl([T]-lambda Ir) = (1-lambda)(2-lambda)(3-lambda)
Daí os autovalores são as raízes lambda=1,2,3, cada uma de multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para cada autovalor temos o autoespaço
Pela forma diagonal de segue
Cada autoespaço é de dimensão , ou seja, cada multiplicidade geométrica é .

Passo 5

Como para todos os lambda a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e a soma das dimensões dos autoespaços é dim P2=3, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta




Portanto, é diagonalizável.

Exercícios relacionados