Verifique o Teorema de Stokes para o campo F(x, y, z)=y i+z j+x k, onde S é a porção do parabolóide z=1-x^2-y^2 com z >= 0, e n é a normal com componente z não-negativa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo F(x,y,z)=yi+zj+xk sobre a porção do paraboloide z=1-x^2-y^2 com z>=0, usando uma normal de componente z não-negativa. Vamos calcular o rotacional de F, a integral de superfície integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS e a integral de linha ointCFcdot dr.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Temos F=(y,,z,,x), então
[
\nabla\times\mathbf{F}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\
\partial_x & \\partial_y & \\partial_z \\
y & z & x
\end{vmatrix}
= (-1,,-1,,-1).

Passo 3

Parametrizar a superfície S por projeção no plano xy:
r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2), (x,y)in D:,x^2+y^2<=1

Passo 4

O vetor normal orientado para cima é dado por
rxtimesry=(2x,,2y,,1),

Passo 5

Logo a integral de superfície fica
integralegral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =integralegral duplaD(-1,-1,-1)cdot(2x,2y,1),dA =integralegral duplaD(-2x-2y-1),dA

Passo 6

Como D é o disco unitário, as partes em x e y se anulam por simetria, sobrando
integralegral duplaD(-1),dA=-Area(D)=-pi

Passo 7

Parametrizar a curva C como o círculo x^2+y^2=1,,z=0 orientado positivamente:
r(theta)=(costheta,sintheta,0), 0<=theta<=2pi, dr=(-sintheta,costheta,0),dtheta

Passo 8

No círculo F=(sintheta,0,costheta), então
Fcdot dr=sintheta(-sintheta),dtheta=-sin^2theta,dtheta

Passo 9

e a integral de linha é
ointCFcdot dr=integral0^2pi-sin^2theta,dtheta=-pi

Passo 10

Como ambas as integrais dão $-\pi$, o Teorema de Stokes está verificado.

Resposta

Ambas as integrais valem -\pi, confirmando o Teorema de Stokes.

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