Verifique o Teorema de Stokes para o campo
, onde
é a porção do parabolóide
, e
é a normal com componente
não-negativa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
sobre a porção do paraboloide
com
, usando uma normal de componente
não-negativa. Vamos calcular o rotacional de
, a integral de superfície
e a integral de linha
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Temos
, então
[
\nabla\times\mathbf{F}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\
\partial_x & \\partial_y & \\partial_z \\
y & z & x
\end{vmatrix}
= (-1,,-1,,-1).
\nabla\times\mathbf{F}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\
\partial_x & \\partial_y & \\partial_z \\
y & z & x
\end{vmatrix}
= (-1,,-1,,-1).
Passo 3
Parametrizar a superfície
por projeção no plano
:
Passo 4
O vetor normal orientado para cima é dado por
Passo 5
Logo a integral de superfície fica
Passo 6
Como
é o disco unitário, as partes em
e
se anulam por simetria, sobrando
Passo 7
Parametrizar a curva
como o círculo
orientado positivamente:
Passo 8
No círculo
, então
Passo 9
e a integral de linha é
Passo 10
Como ambas as integrais dão $-\pi$, o Teorema de Stokes está verificado.
Resposta
Ambas as integrais valem -\pi, confirmando o Teorema de Stokes.