Dados os vetores e , determine uma base ortonormal , onde e1 é paralelo a u e e2 é coplanar com u e v.
Passo 1
O enunciado dá os vetores u=2i-j+2k e v=i+3j e pede uma base ortonormal l(e1,e2,e3r) em que e1 é paralelo a u e e2 pertence ao plano gerado por u e v. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt em u,v para obter e1 e e2, e então definir e3=e1timese2.
Passo 2
Primeiro normalizamos u.
O módulo de u é
|u|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=raiz9=3
Logo
e1=u|u| =13(2,,-1,,2)
Passo 3
Agora projetamos v em e1 e subtraímos para obter o componente ortogonal a e1.
O produto interno é
vcdote1 =l(1,3,0r)cdot13(2,-1,2) =2-3+03=-13
A projeção vale l(vcdote1r)e1, então o vetor ortogonal é
w =v-l(vcdote1r)e1 =(1,3,0)-l(-tfrac13r)13(2,-1,2) =19(11,,26,,2)