Dados os vetores u=2 i-j+2 k e v=i+3 j, determine uma base ortonormal (e1, e2, e3), onde e1 é paralelo a u e e2 é coplanar com u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=2i-j+2k e v=i+3j e pede uma base ortonormal l(e1,e2,e3r) em que e1 é paralelo a u e e2 pertence ao plano gerado por u e v. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt em u,v para obter e1 e e2, e então definir e3=e1timese2.

Passo 2

Primeiro normalizamos u.
O módulo de u é
|u|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=raiz9=3
Logo
e1=u|u| =13(2,,-1,,2)

Passo 3

Agora projetamos v em e1 e subtraímos para obter o componente ortogonal a e1.
O produto interno é
vcdote1 =l(1,3,0r)cdot13(2,-1,2) =2-3+03=-13
A projeção vale l(vcdote1r)e1, então o vetor ortogonal é
w =v-l(vcdote1r)e1 =(1,3,0)-l(-tfrac13r)13(2,-1,2) =19(11,,26,,2)
Seu módulo é
|w| =19raiz11^2+26^2+2^2 =19raiz801 =raiz893
Normalizando,
e2 =w|w| =tfrac19(11,26,2)tfracraiz893 =13raiz89,(11,,26,,2)

Passo 4

Por fim, definimos
e3 =e1timese2
Fazendo o produto vetorial, obtém-se
e3 =1raiz89(-6,,2,,7),
que já é unitário e ortogonal a e1 e e2.

Resposta

e1=13(2,,-1,,2), e2=13raiz89(11,,26,,2), e3=1raiz89(-6,,2,,7)

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