Usando o escalonamento, desenvolva um método prático para obter uma base de a partir de um conjunto qualquer de vetores, seja acrescentando elementos a esse conjunto ou descartando aquele que tornam o conjunto linearmente dependente. Admite que os vetores são dados em coordenadas numa base qualquer (não necessariamente ortonormal).
Dica. Construa uma matriz aumentada conveniente usando a identidade .
Passo 1
O objetivo é, dado um conjunto arbitrário de vetores em (coordenadas numa base qualquer), encontrar uma base de eliminando vetores que geram dependência linear ou acrescentando vetores até completar três. Vamos usar o escalonamento de uma matriz aumentada para detectar dependências e complementar com vetores de uma base de referência.
Passo 2
Organize os vetores dados como colunas de uma matriz e anexe à direita a matriz identidade . Em notação matricial:
onde cada vj é um vetor coluna em R^3 (ou sobre o corpo de interesse) e
I3 = 1&0&0[4pt] 0&1&0[4pt] 0&0&1 ]
Passo 3
Aplique eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan) em M até a forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Nesse processo você obtém pivôs em certas colunas de M.
Passo 4
Examine as colunas de pivô que caíram dentro das primeiras k colunas:
Cada coluna de pivô entre as colunas 1 a k indica que o vetor correspondente vj é linearmente independente em relação aos anteriores.
As colunas que não tiverem pivô correspondem a vetores vj que podem ser descartados (dependentes).
Passo 5
Conte quantos pivôs caíram nas primeiras k colunas; suponha que sejam r<=3.
Se r=3, você já tem uma base formada pelos três vj cujas colunas são pivô.
Se r<3, então haverá exatamente 3-r pivôs nas últimas três colunas (as de I3). Cada uma dessas colunas de I3 que se tornou pivô indica um vetor da base padrão (na base original) que devemos acrescentar para completar a base de V^3.
Resposta
1. Monte a matriz aumentada
M=l[v1;cdots;vkmid I3r]
2. Faça eliminação de Gauss–Jordan em M. 3. Nas colunas 1 a k, mantenha apenas os vj que correspondem a colunas de pivô (descartando os demais). 4. Se obter menos de três vetores independentes, identifique quais colunas de I3 viraram pivôs e acrescente os vetores padrões correspondentes.
O resultado é uma base de V^3.