Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 3 i+j e 4 i-j+3 k. Quantos deles existem?

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3:
a = 3vec i + vec j e b = 4vec i - vec j + 3vec k.
Queremos um vetor unitário ortogonal a ambos. Para isso, vamos usar o produto vetorial a times b, que gera um vetor perpendicular aos dois, e em seguida normalizar.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
a times b = vec i & vec j & vec k 3 & 1 & 0 4 & -1 & 3 = vec i,(1cdot3 - 0cdot(-1)) - vec j,(3cdot3 - 0cdot4) + vec k,(3cdot(-1)-1cdot4)

Passo 3

Simplificando cada componente, obtemos
a times b = 3,vec i - 9,vec j -7,vec k

Passo 4

Agora calculamos a norma desse vetor:
| a times b| = raiz3^2 + (-9)^2 + (-7)^2 = raiz9 + 81 + 49 = raiz139

Passo 5

Um vetor unitário na direção de a times b é
u = 1raiz139,(3,vec i -9,vec j -7,vec k)
Como também vale - u, existem dois vetores unitários ortogonais a a e b.

Resposta

Os vetores são
pm3,vec i -9,vec j -7,vec kraiz139,
e, portanto, existem 2 vetores unitários ortogonais aos dados.

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