Decida de se cada uma das aformações abaixo é verdadeira ou falso, justificando:
(i) Se
, então
ou
.
(ii) Se
e
são mutuamente ortogonais, então
também o são.
(iii) Se
então
é paralelo a
.
(iv) Se
, então
.
(v)
, então
.
(vi) Se
e
são paralelos, então
.
(i) Se
(ii) Se
(iii) Se
(iv) Se
(v)
(vi) Se
Passo 1
A questão apresenta seis afirmações sobre produto escalar, ortogonalidade e projeção de vetores. Precisamos decidir para cada uma se é verdadeira ou falsa e justificar usando definições de dot product, ortogonalidade e projeção.
Vamos relembrar as definições principais:
– O produto escalar de dois vetores e
é dado por
, onde
é o ângulo entre eles. Se
e ambos não são nulos, então
, isto é, são ortogonais.
– Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero.
– A projeção de sobre
(com
) é
Vamos relembrar as definições principais:
– O produto escalar de dois vetores
– Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero.
– A projeção de
Passo 2
Analisando (i): “Se
, então
ou
.” Essa afirmação confunde ortogonalidade com nulidade. Um contraexemplo simples em
é
e
: ambos são não nulos e
. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando (ii): “Se
e
são mutuamente ortogonais, então
e
também o são.” Como
, temos
Logo são ortogonais. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando (iii): “Se
então
é paralelo a
.” Se
, então
, mas isso implica
, ou seja,
. Não há nenhuma indicação de paralelismo. A afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando (iv): “Se
, então
.” Pela fórmula de projeção,
Como
, conclui-se
, mas isso não obriga
. Pode ser não nulo e ortogonal a
. A afirmação é falsa.
Passo 6
Analisando (v): “Se
, então
.” Do resultado anterior tiramos
, que é exatamente a definição de ortogonalidade. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando (vi): “Se
e
são paralelos, então
.” Supondo
,
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
(i) Falsa; (ii) Verdadeira; (iii) Falsa; (iv) Falsa; (v) Verdadeira; (vi) Verdadeira.