Decida de se cada uma das aformações abaixo é verdadeira ou falso, justificando:
(i) Se u cdot v=0, então u=0 ou v=0.
(ii) Se v e w são mutuamente ortogonais, então 2 v e-3 w também o são.
(iii) Se -v perp w então v é paralelo a w.
(iv) Se projv u=0, então u=0.
(v) Seproj^v u=0, então u perp v.
(vi) Se u e v são paralelos, então projv u=u.

Passo 1

A questão apresenta seis afirmações sobre produto escalar, ortogonalidade e projeção de vetores. Precisamos decidir para cada uma se é verdadeira ou falsa e justificar usando definições de dot product, ortogonalidade e projeção.
Vamos relembrar as definições principais:
– O produto escalar de dois vetores vec u e vec v é dado por vec ucdotvec v=|vec u|,|vec v|costheta, onde theta é o ângulo entre eles. Se vec ucdotvec v=0 e ambos não são nulos, então theta=90^circ, isto é, são ortogonais.
– Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero.
– A projeção de vec u sobre vec v (com vec vneqvec0) é
projvec vvec u=vec ucdotvec v|vec v|^2,vec v

Passo 2

Analisando (i): “Se vec ucdotvec v=0, então vec u=vec0 ou vec v=vec0.” Essa afirmação confunde ortogonalidade com nulidade. Um contraexemplo simples em R^2 é vec u=(1,0) e vec v=(0,1): ambos são não nulos e vec ucdotvec v=0. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (ii): “Se vec v e vec w são mutuamente ortogonais, então 2vec v e -3vec w também o são.” Como vec vcdotvec w=0, temos
(2vec v)cdot(-3vec w)=2cdot(-3),(vec vcdotvec w)=-6cdot0=0
Logo são ortogonais. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (iii): “Se -vec vperpvec w então vec v é paralelo a vec w.” Se -vec vperpvec w, então (-vec v)cdotvec w=0, mas isso implica vec vcdotvec w=0, ou seja, vec vperpvec w. Não há nenhuma indicação de paralelismo. A afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando (iv): “Se projvec vvec u=0, então vec u=vec0.” Pela fórmula de projeção,
projvec vvec u=0Longrightarrowvec ucdotvec v|vec v|^2,vec v=0
Como vec vneq0, conclui-se vec ucdotvec v=0, mas isso não obriga vec u=0. Pode ser não nulo e ortogonal a vec v. A afirmação é falsa.

Passo 6

Analisando (v): “Se projvec vvec u=0, então vec uperpvec v.” Do resultado anterior tiramos vec ucdotvec v=0, que é exatamente a definição de ortogonalidade. A afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisando (vi): “Se vec u e vec v são paralelos, então projvec vvec u=vec u.” Supondo vec u=kvec v,
projvec vvec u=(kvec v)cdotvec v|vec v|^2,vec v =k,|vec v|^2|vec v|^2,vec v=kvec v=vec u
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

(i) Falsa; (ii) Verdadeira; (iii) Falsa; (iv) Falsa; (v) Verdadeira; (vi) Verdadeira.

Exercícios relacionados