2 Dados os vetores u=j-k, v=(2,-2,-2) e w=(1,-1,2). Sabendo que o vetor x tem módulo igual a raiz14, é paralelo à w, e com o vetor v sendo simultaneamente ortogonal aos vetores x e u. Determine as componentes do vetor x.

Passo 1

O enunciado dá
  • vec u = vec jmath - vec k = (0,1,-1),
  • vec v = (2,-2,-2),
  • vec w = (1,-1,2),
    e pede um vetor vec x tal que
  1. vec xparal<=lvec w,
  2. vec v é ortogonal a vec x e a vec u,
  3. |vec x|=raiz14.
    Para resolver, vamos usar: condição de paralelismo ( vec x=tvec w), produto escalar para ortogonalidade, e norma para o módulo.

Passo 2

Como vec xparal<=lvec w, existe escalar t tal que
vec x = t,vec w = t,(1,-1,2)=(t,,-t,,2t)

Passo 3

Para vec vperpvec x precisamos de
vec vcdotvec x = 0
Como vec vcdotvec w = 2cdot1 +(-2)cdot(-1)+(-2)cdot2 = 2+2-4 = 0, segue
vec vcdotvec x = t,(vec vcdotvec w)=tcdot0=0,
ou seja, a ortogonalidade é satisfeita para qualquer t. Note que já se verifica também vec vcdotvec u=0, mas isso não restringe t.

Passo 4

Usamos |vec x|=raiz14. Como
|vec x| = |t|,|vec w| e |vec w| = raiz1^2+(-1)^2+2^2 = raiz6,
temos
|t|,raiz6 = raiz14 Longrightarrow |t| = raiz146 = raiz73
Logo
t = pm raiztfrac73

Passo 5

Substituindo em vec x = t(1,-1,2), obtemos as duas soluções possíveis:
vec x = raiztfrac73,(1,-1,2) ou vec x = -raiztfrac73,(1,-1,2)

Resposta

vec x = pmraiztfrac73,(1,-1,2),
isto é,
vec x = l(pmraiztfrac73,,mpraiztfrac73,,pm2raiztfrac73r)

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