Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Eixo paralelo ao eixo y e passa nos pontos A(4,5), B(-2,11) e C(-4,21).

Passo 1

O enunciado pede uma parábola de eixo paralelo ao eixo y que passa pelos pontos A(4,5), B(-2,11) e C(-4,21). Para esse tipo de parábola usamos a forma canônica
(x - h)^2 = 4p,(y - k),
onde (h,k) é o vértice e p está relacionado ao foco e à diretriz.

Passo 2

Substituímos cada ponto na forma (x - h)^2 = 4p,(y - k). Para A(4,5):
(4 - h)^2 = 4p,(5 - k),
para B(-2,11):
(-2 - h)^2 = 4p,(11 - k),
e para C(-4,21):
(-4 - h)^2 = 4p,(21 - k)

Passo 3

Eliminamos p comparando as equações. De A e B:
(4 - h)^25 - k ;=;(-2 - h)^211 - k Longrightarrow 2(h - 1)(5 - k) = (4 - h)^2
De B e C:
(-2 - h)^211 - k ;=;(-4 - h)^221 - k Longrightarrow 2(h + 3)(5 - k) = 5,(4 - h)^2

Passo 4

Resolvendo o sistema
2(h - 1)(5 - k) = (4 - h)^2, 2(h + 3)(5 - k) = 5,(4 - h)^2,
encontramos h = 2 e k = 3.

Passo 5

Para achar p, usamos por exemplo a equação de A:
(4 - 2)^2 = 4p,(5 - 3) Longrightarrow 4 = 8p Longrightarrow p = tfrac12

Passo 6

Com h=2, k=3 e p=tfrac12, os principais elementos são:
  • Equação canônica: (x - 2)^2 = 4!l(tfrac12r),(y - 3) Longrightarrow (x - 2)^2 = 2,(y - 3)
  • Vértice: (2,3).
  • Foco: l(2,,3 + tfrac12r) = l(2,,tfrac72r).
  • Diretriz: y = 3 - tfrac12 = tfrac52.
  • Eixo: a reta x = 2.
  • Excentricidade: e = 1 (propriedade de toda parábola).
  • Esboço: parábola com concavidade para cima, vértice em (2,3), foco acima do vértice e diretriz abaixo.

Resposta

Equação: (x - 2)^2 = 2,(y - 3)
Vértice: (2,3)
Foco: l(2,tfrac72r)
Eixo: reta x = 2
Diretriz: reta y = tfrac52
Excentricidade: 1
Esboço: parábola aberta para cima com vértice em (2,3).

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