Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto $ D $ definido por:
A tarefa é esboçar esse conjunto no plano cartesiano e dizer se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de conjuntos no plano, inequações lineares e o que significa um conjunto ser aberto ou fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esse conjunto $ D $ representa. Ele inclui todos os pontos
no plano real
que satisfazem a inequação
.
Isso significa que queremos todos os pontos onde a combinação linear
está entre 1 e 4.
Passo 3
Para esboçar esse conjunto, vamos tratar as duas partes da inequação separadamente:
Essas são duas inequações lineares que representam regiões no plano. Primeiro, vamos esboçar as retas correspondentes
e
.
Passo 4
Vamos encontrar dois pontos para cada reta para facilitar o esboço.
Para
:
- Se
: → Ponto - Se
: → Ponto
Para
:
- Se
: → Ponto - Se
: → Ponto
Passo 5
Agora, vamos desenhar essas duas retas no plano cartesiano:
- A reta
passa pelos pontos e - A reta
passa pelos pontos e
Essas retas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente angular (
).
Passo 6
Depois de desenhar as duas retas paralelas, precisamos identificar a região que satisfaz
.
Isso significa que estamos procurando os pontos que estão entre essas duas retas. Podemos testar um ponto para ver qual lado das retas pertence a nossa região.
Por exemplo, vamos testar o ponto
:
- Para
: - Verificamos se
. Sim, atende.
Então, a região que queremos é a área entre as duas retas onde
está entre 1 e 4.
Passo 7
Agora, vamos falar sobre se o conjunto $ D $ é aberto, fechado ou nenhum dos dois.
- Conjunto Aberto: Um conjunto é aberto se não inclui suas fronteiras. Ou seja, as retas
e não estão incluídas em $ D $. - Conjunto Fechado: Um conjunto é fechado se inclui suas fronteiras.
Como $ D $ não inclui as retas (porque usamos “<” e não “≤”), ele não contém suas fronteiras.
Passo 8
Portanto, como $ D $ não inclui as fronteiras, ele é um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto $ D $ é um conjunto aberto no plano
. O esboço consiste nas duas retas paralelas
e
com a região entre elas sombreada.