Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
D=(x, y) in R^2 / 1<2 x+3 y<4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto $ D $ definido por:
D
A tarefa é esboçar esse conjunto no plano cartesiano e dizer se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de conjuntos no plano, inequações lineares e o que significa um conjunto ser aberto ou fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esse conjunto $ D $ representa. Ele inclui todos os pontos D no plano real (x, y) que satisfazem a inequação R^2.
Isso significa que queremos todos os pontos onde a combinação linear 1 < 2x + 3y < 4 está entre 1 e 4.

Passo 3

Para esboçar esse conjunto, vamos tratar as duas partes da inequação separadamente:
  1. 2x + 3y > 1
  2. 2x + 3y < 4
Essas são duas inequações lineares que representam regiões no plano. Primeiro, vamos esboçar as retas correspondentes 2x + 3y = 1 e 2x + 3y = 4.

Passo 4

Vamos encontrar dois pontos para cada reta para facilitar o esboço.
Para 2x + 3y = 1:
  • Se x = 0: 3y = 1 Rightarrow y = 13 → Ponto (0, 13)
  • Se y = 0: 2x = 1 Rightarrow x = 12 → Ponto (12, 0)
Para 2x + 3y = 4:
  • Se x = 0: 3y = 4 Rightarrow y = 43 → Ponto (0, 43)
  • Se y = 0: 2x = 4 Rightarrow x = 2 → Ponto (2, 0)

Passo 5

Agora, vamos desenhar essas duas retas no plano cartesiano:
  • A reta 2x + 3y = 1 passa pelos pontos (0, 13) e (12, 0)
  • A reta 2x + 3y = 4 passa pelos pontos (0, 43) e (2, 0)
Essas retas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente angular ( -23).

Passo 6

Depois de desenhar as duas retas paralelas, precisamos identificar a região que satisfaz 1 < 2x + 3y < 4.
Isso significa que estamos procurando os pontos que estão entre essas duas retas. Podemos testar um ponto para ver qual lado das retas pertence a nossa região.
Por exemplo, vamos testar o ponto (0,1):
  • Para 2x + 3y: 2(0) + 3(1) = 3
  • Verificamos se 1 < 3 < 4. Sim, atende.
Então, a região que queremos é a área entre as duas retas onde 2x + 3y está entre 1 e 4.

Passo 7

Agora, vamos falar sobre se o conjunto $ D $ é aberto, fechado ou nenhum dos dois.
  • Conjunto Aberto: Um conjunto é aberto se não inclui suas fronteiras. Ou seja, as retas D e 2x + 3y = 1 não estão incluídas em $ D $.
  • Conjunto Fechado: Um conjunto é fechado se inclui suas fronteiras.
Como $ D $ não inclui as retas (porque usamos “<” e não “≤”), ele não contém suas fronteiras.

Passo 8

Portanto, como $ D $ não inclui as fronteiras, ele é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto $ D $ é um conjunto aberto no plano D . O esboço consiste nas duas retas paralelas R^2 e 2x + 3y = 1 com a região entre elas sombreada.

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