Dados os vetores
e
, determine se existe uma transformação linear
tal que
e
Em caso positivo determine sua lei de formação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados os vetores:
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
-
-
Pergunta do enunciado:
- Existe uma transformação linear
tal que - Se existir, determinar a lei de formação de
(isto é, uma fórmula para ou a matriz associada).
- Existe uma transformação linear
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se
e
formam uma base de
. Se sim, imagens arbitrárias para
determinam uma única transformação linear. Para testar isso, coloco
e
como colunas de uma matriz
:
Calculo o determinante de
:
Como
, as colunas são linearmente independentes e portanto
é uma base de
.
Comentário didático curto: quando duas colunas em
têm determinante diferente de zero, elas não são múltiplas uma da outra e geram todo
; assim qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear delas.]
Passo 3
Se existe uma matriz
(2×2) representando
na base canônica, então as imagens dadas satisfazem a relação matricial
onde as matrizes à direita têm
e
como colunas. Escrevendo explicitamente
,
Da equação acima segue
Portanto o objetivo é calcular
e multiplicar
por
.
Didática: isso vem da propriedade de matrizes de que se
e
é invertível, multiplica-se à direita por
para isolar
.]
Passo 4
Calculo a inversa de
usando a fórmula da inversa para matrizes
. Para
temos
Aplicando a
obtém-se
Passo 5
Agora faço a multiplicação
. Primeiro multiplico
pela matriz adjunta (antes do
):
Multiplicando pelo fator
:
Interpretação didática: a matriz
tem suas colunas correspondendo às imagens dos vetores da base canônica
. Aqui a calculamos indiretamente a partir das imagens de outra base (
).]
Passo 6
Verificação necessária: usar
para calcular
e checar se dá
. Como
,
Isso coincide exatamente com
. Portanto as três igualdades pedidas são compatíveis e existe uma transformação linear que satisfaz todas.
Comentário motivador: quando as imagens de dois vetores independentes são fixadas, a transformação linear fica determinada; a verificação com o terceiro vetor garante consistência.]
Passo 7
Escrever a lei de formação de
explicitamente: se
é um vetor qualquer em
, então
Ou, escrevendo em coordenadas,
Resposta
Sim.
.