Dados os vetores u_{1}=(2,-1), u_{2}=(1,1), u_{3}=(-1,-4), v_{1}=(1,3), v_{2}=(2,3) e v_{3}=(-5,-6), determine se existe uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T\left(u_{1}\right)=v_{1}, T\left(u_{2}\right)=v_{2} e T\left(u_{3}\right)=v Em caso positivo determine sua lei de formação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados os vetores:
    • u_{1}=(2,-1),
    • u_{2}=(1,1),
    • u_{3}=(-1,-4),
    • v_{1}=(1,3),
    • v_{2}=(2,3),
    • v_{3}=(-5,-6).
  • Pergunta do enunciado:
    • Existe uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} tal que T(u_{1})=v_{1},\quad T(u_{2})=v_{2},\quad T(u_{3})=v_{3}\; ?
    • Se existir, determinar a lei de formação de T (isto é, uma fórmula para T(x,y) ou a matriz associada).

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se u_{1} e u_{2} formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Se sim, imagens arbitrárias para u_{1},u_{2} determinam uma única transformação linear. Para testar isso, coloco u_{1} e u_{2} como colunas de uma matriz U:
U=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante de U:
\det(U)=2\cdot 1-(-1)\cdot 1=2+1=3.
Como \det(U)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e portanto \{u_{1},u_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Comentário didático curto: quando duas colunas em \mathbb{R}^2 têm determinante diferente de zero, elas não são múltiplas uma da outra e geram todo \mathbb{R}^2; assim qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear delas.]

Passo 3

Se existe uma matriz A (2×2) representando T na base canônica, então as imagens dadas satisfazem a relação matricial
A\,[u_{1}\; u_{2}]=[v_{1}\; v_{2}],
onde as matrizes à direita têm u_{1},u_{2} e v_{1},v_{2} como colunas. Escrevendo explicitamente V=[v_{1}\; v_{2}],
V=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
Da equação acima segue
A = V\,U^{-1}.
Portanto o objetivo é calcular U^{-1} e multiplicar V por U^{-1}.
Didática: isso vem da propriedade de matrizes de que se A U = V e U é invertível, multiplica-se à direita por U^{-1} para isolar A.]

Passo 4

Calculo a inversa de U usando a fórmula da inversa para matrizes 2\times2. Para
U=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
U^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a U=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} obtém-se
U^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora faço a multiplicação A=V\,U^{-1}. Primeiro multiplico V pela matriz adjunta (antes do 1/3):
V\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot1 & 1\cdot(-1)+2\cdot2\\[4pt] 3\cdot1+3\cdot1 & 3\cdot(-1)+3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix}.
Multiplicando pelo fator 1/3:
A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Interpretação didática: a matriz A tem suas colunas correspondendo às imagens dos vetores da base canônica e_{1},e_{2}. Aqui a calculamos indiretamente a partir das imagens de outra base ( u_1,u_2).]

Passo 6

Verificação necessária: usar A para calcular T(u_{3}) e checar se dá v_{3}. Como u_{3}=(-1,-4),
A\,u_{3}= \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot(-1)+1\cdot(-4)\\[4pt]2\cdot(-1)+1\cdot(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]-6\end{pmatrix}.
Isso coincide exatamente com v_{3}=(-5,-6). Portanto as três igualdades pedidas são compatíveis e existe uma transformação linear que satisfaz todas.
Comentário motivador: quando as imagens de dois vetores independentes são fixadas, a transformação linear fica determinada; a verificação com o terceiro vetor garante consistência.]

Passo 7

Escrever a lei de formação de T explicitamente: se (x,y) é um vetor qualquer em \mathbb{R}^{2}, então
T\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y\\[4pt]2x+y\end{pmatrix}.
Ou, escrevendo em coordenadas,
T(x,y)=(\,x+y,\;2x+y\,).]

Resposta

Sim. \;T(x,y)=(x+y,\;2x+y).

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