Demonstre que:
Demonstre que, se T: V \rightarrow V é uma transformação linear,
(a) se (T \circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V}, então \operatorname{Im}(T) \subset \operatorname{Nuc}(T).
(b) se \operatorname{Im}(T) \subset \operatorname{Nuc}(T), então (T \circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V}.

Passo 1

O enunciado dá que T: V \rightarrow V é uma transformação linear. Ele pede duas coisas separadas:
  • (a) Partindo da hipótese de que (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v\in V, demonstrar que \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T).
  • (b) Partindo da hipótese de que \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T), demonstrar que (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v\in V.
As informações relevantes que temos são portanto: a linearidade de T e as hipóteses que aparecem em (a) e em (b) (cada uma é uma hipótese diferente para demonstrar a consequência pedida).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar direitinho o que são \operatorname{Im}(T) e \operatorname{Nuc}(T) — isso é fundamental e aí a prova fica mecânica.
  • Definição da imagem: \displaystyle \operatorname{Im}(T)=\{\,T(x)\mid x\in V\,\}. Em palavras: a imagem é o conjunto de todos os vetores que aparecem como T(x) para algum x.
  • Definição do núcleo (nucleo = núcleo ou kernel): \displaystyle \operatorname{Nuc}(T)=\{\,x\in V\mid T(x)=\overrightarrow{0}_{V}\,\}. Em palavras: o núcleo é o conjunto dos vetores que T manda para o vetor zero.
Tática padrão para provar uma inclusão do tipo A\subset B: pegar um elemento arbitrário de A e mostrar que ele pertence a B. Vou usar isso nas duas partes. É simples e seguro na prova.

Passo 3

Prova de (a): assumir (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v\in V e mostrar \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T).
  • Hipótese reescrita: para todo v\in V vale \displaystyle T(T(v))=\overrightarrow{0}_{V}. Às vezes escrevemos isso como T^{2}=0, mas vou manter a notação dada.
  • Pegue um vetor arbitrário w\in\operatorname{Im}(T). Pela definição da imagem existe algum u\in V tal que w=T(u).
  • Aplique T a w: \displaystyle T(w)=T\bigl(T(u)\bigr).
  • Pela hipótese, \displaystyle T\bigl(T(u)\bigr)=\overrightarrow{0}_{V}.
  • Logo T(w)=\overrightarrow{0}_{V}, ou seja w\in\operatorname{Nuc}(T).
  • Como w foi escolhido arbitrariamente em \operatorname{Im}(T), concluímos \displaystyle \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T).
Isso fecha a prova da parte (a). Intuitivamente: se aplicar T duas vezes dá sempre zero, então qualquer vetor que seja saída de uma aplicação de T (isto é, qualquer vetor da imagem) é enviado por T para zero — por isso a imagem fica dentro do núcleo.

Passo 4

Pequeno exemplo ilustrativo (opcional, só para intuição): considere V=\mathbb{R}^{2} e a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
A aplicação T dada por T(x)=Ax satisfaz A^{2}=0, logo T(T(v))=\overrightarrow{0} para todo v. A imagem é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e esse vetor é enviado por A para \overrightarrow{0}, então \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T). Isso mostra um caso concreto onde (a) ocorre.]

Passo 5

Prova de (b): assumir \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T) e mostrar que (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v\in V.
  • Comece com um vetor arbitrário v\in V.
  • Observe que T(v)\in\operatorname{Im}(T) por definição da imagem (pois T(v) é exatamente de forma T(\text{algum vetor})).
  • Pela hipótese \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T), segue que T(v)\in\operatorname{Nuc}(T).
  • Pela definição de núcleo, T(v)\in\operatorname{Nuc}(T) significa T\bigl(T(v)\bigr)=\overrightarrow{0}_{V}.
  • Como v foi arbitrário, essa igualdade vale para todo v\in V. Portanto (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v.
Pronto: (b) está demonstrada de forma direta e curta.

Passo 6

Resumo final e observação útil para prova/inspeção rápida: as duas implicações juntas mostram que a condição \displaystyle T\circ T=0 (ou T^{2}=0) é equivalente à inclusão \displaystyle \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T). Em provas de concurso ou exames, lembra que o padrão é sempre “pegar um elemento qualquer” e usar definições — isso economiza tempo e evita erros bobos. Força aí, tá indo bem!

Resposta

(a) Se (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v\in V, então \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T).
(b) Se \operatorname{Im}(T)\subset\operatorname{Nuc}(T), então (T\circ T)(v)=\overrightarrow{0}_{V} para todo v\in V.

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