Demonstre que:
Demonstre que, se
é uma transformação linear,
(a) se
, então
.
(b) se
, então
.
Demonstre que, se
(a) se
(b) se
Passo 1
O enunciado dá que
é uma transformação linear. Ele pede duas coisas separadas:
- (a) Partindo da hipótese de que
para todo , demonstrar que . - (b) Partindo da hipótese de que
, demonstrar que para todo .
As informações relevantes que temos são portanto: a linearidade de
e as hipóteses que aparecem em (a) e em (b) (cada uma é uma hipótese diferente para demonstrar a consequência pedida).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar direitinho o que são
e
— isso é fundamental e aí a prova fica mecânica.
- Definição da imagem:
. Em palavras: a imagem é o conjunto de todos os vetores que aparecem como para algum . - Definição do núcleo (nucleo = núcleo ou kernel):
. Em palavras: o núcleo é o conjunto dos vetores que manda para o vetor zero.
Tática padrão para provar uma inclusão do tipo
: pegar um elemento arbitrário de
e mostrar que ele pertence a
. Vou usar isso nas duas partes. É simples e seguro na prova.
Passo 3
Prova de (a): assumir
para todo
e mostrar
.
- Hipótese reescrita: para todo
vale . Às vezes escrevemos isso como , mas vou manter a notação dada. - Pegue um vetor arbitrário
. Pela definição da imagem existe algum tal que . - Aplique
a : . - Pela hipótese,
. - Logo
, ou seja . - Como
foi escolhido arbitrariamente em , concluímos .
Isso fecha a prova da parte (a). Intuitivamente: se aplicar
duas vezes dá sempre zero, então qualquer vetor que seja saída de uma aplicação de
(isto é, qualquer vetor da imagem) é enviado por
para zero — por isso a imagem fica dentro do núcleo.
Passo 4
Pequeno exemplo ilustrativo (opcional, só para intuição): considere
e a matriz
A aplicação
dada por
satisfaz
, logo
para todo
. A imagem é o subespaço gerado por
e esse vetor é enviado por
para
, então
. Isso mostra um caso concreto onde (a) ocorre.]
Passo 5
Prova de (b): assumir
e mostrar que
para todo
.
- Comece com um vetor arbitrário
. - Observe que
por definição da imagem (pois é exatamente de forma ). - Pela hipótese
, segue que . - Pela definição de núcleo,
significa . - Como
foi arbitrário, essa igualdade vale para todo . Portanto para todo .
Pronto: (b) está demonstrada de forma direta e curta.
Passo 6
Resumo final e observação útil para prova/inspeção rápida: as duas implicações juntas mostram que a condição
(ou
) é equivalente à inclusão
. Em provas de concurso ou exames, lembra que o padrão é sempre “pegar um elemento qualquer” e usar definições — isso economiza tempo e evita erros bobos. Força aí, tá indo bem!
Resposta
(a) Se
para todo
, então
.
(b) Se , então
para todo
.
(b) Se