Dados os vetores u=(1,2,-2) e v=(3,1,1), determine v1 / / v e v2 perp v tais que u=v1+v2.

Passo 1

Temos os vetores u=(1,2,-2) e v=(3,1,1) e queremos decompor u=v1+v2, onde v1 é paralelo a v e v2 é perpendicular a v. Este problema envolve projeção de vetores e produto escalar.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares ucdot v e vcdot v:
u cdot v = 1cdot 3 + 2cdot 1 + (-2)cdot 1 = 3 + 2 - 2 = 3
v cdot v = 3^2 + 1^2 + 1^2 = 9 + 1 + 1 = 11

Passo 3

Determinamos o fator de projeção c = ucdot vvcdot v:
c = 311

Passo 4

A componente paralela v1 é dada por c,v:
v1 = 311(3,1,1) = l(tfrac911, tfrac311, tfrac311r)

Passo 5

A componente perpendicular v2 vem de u - v1:
v2 = (1,2,-2) - l(tfrac911, tfrac311, tfrac311r) = l(tfrac211, tfrac1911, -tfrac2511r)

Resposta

v1 = (tfrac911,,tfrac311,,tfrac311), v2 = (tfrac211,,tfrac1911,,-tfrac2511)

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