Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (h) (Corda Dedilhada)
Passo 1
Temos a equação da onda utt=c^2uxx em 0 com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0, onde f(x)=tfrachax,&0<= x<= ahtfracL-xL-a,&a<= x<= L. Vamos usar separação de variáveis para escrever a solução e depois ajustar as condições iniciais.
Passo 2
Assumimos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em utt=c^2uxx obtemos T''/c^2T=X''/X=-lambda. Isso gera dois EDOs: X''+lambda X=0 e T''+lambda c^2T=0.
Passo 3
Pelas CC X(0)=X(L)=0 temos autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/L), n=1,2,dots. Logo, modos de tempo são Tn(t)=Ancos(npi c t/L)+Bnsin(npi c t/L)).
Passo 4
A solução geral fica u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(npi c t/L)+Bnsin(npi c t/L)r)sin(npi x/L). Pela condição ut(x,0)=0 segue Bn=0. Então
u(x,t)=sumn=1^infty Ancosl(npi c tLr)sinl(npi xLr)
Passo 5
Para achar An, usamos u(x,0)=f(x) e a ortogonalidade de sin(npi x/L):
An=2Lintegral0^L f(x)sinl(npi xLr)dx
Passo 6
Como f(x) é definida por partes, separamos a integral: