Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (h) (Corda Dedilhada)
ll ut t=c^2 ux x & se 00, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L, ut(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L com f(x)= ha x & se 0 <= x <= a h L-xL-a & se a <= x <= L

Passo 1

Temos a equação da onda utt=c^2uxx em 0 com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0, onde f(x)=tfrachax,&0<= x<= ahtfracL-xL-a,&a<= x<= L. Vamos usar separação de variáveis para escrever a solução e depois ajustar as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em utt=c^2uxx obtemos T''/c^2T=X''/X=-lambda. Isso gera dois EDOs: X''+lambda X=0 e T''+lambda c^2T=0.

Passo 3

Pelas CC X(0)=X(L)=0 temos autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/L), n=1,2,dots. Logo, modos de tempo são Tn(t)=Ancos(npi c t/L)+Bnsin(npi c t/L)).

Passo 4

A solução geral fica u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(npi c t/L)+Bnsin(npi c t/L)r)sin(npi x/L). Pela condição ut(x,0)=0 segue Bn=0. Então
u(x,t)=sumn=1^infty Ancosl(npi c tLr)sinl(npi xLr)

Passo 5

Para achar An, usamos u(x,0)=f(x) e a ortogonalidade de sin(npi x/L):
An=2Lintegral0^L f(x)sinl(npi xLr)dx

Passo 6

Como f(x) é definida por partes, separamos a integral:
I1=integral0^ahaxsin(beta x)dx, I2=integrala^LhL-a(L-x)sin(beta x)dx,beta=npiL

Passo 7

Calculando por partes cada integral e somando, encontra-se
An=2hL(L-2a)a(L-a)n^2pi^2sinl(npi aLr)

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty2hL(L-2a)a(L-a)n^2pi^2sinl(npi aLr)cosl(npi ctLr)sinl(npi xLr)

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