Dados os vetores u=(0,1) e v=(1,-2). Expressar os vetores a= (3,2) e b=(-2,1), como combinação linear de u e v. Os vetores u e v geram um plano?

Passo 1

O enunciado dá u=(0,1) e v=(1,-2) e pede para expressar a=(3,2) e b=(-2,1) como combinação linear de u e v. O conteúdo é sistemas lineares em R^2. Também solicitam verificar se u e v geram um plano, ou seja, se são linearmente independentes e formam base em R^2.

Passo 2

Para achar os escalares alpha e beta tais que alphau+betav=a, escrevemos
alpha(0,1)+beta(1,-2)=(beta,alpha-2beta)=(3,2)
Igualando as componentes, obtemos
beta=3,
alpha-2beta=2implies alpha-6=2implies alpha=8
Portanto,
a=8u+3v

Passo 3

Para b, buscamos alpha e beta em alphau+betav=b. Assim
(beta,alpha-2beta)=(-2,1),
de onde
beta=-2,
alpha-2beta=1implies alpha+4=1implies alpha=-3
Logo,
b=-3u-2v

Passo 4

Para verificar se u e v geram um plano em R^2, analisamos se são linearmente independentes. O determinante da matriz cujas colunas são u e v é
det0 & 11 & -2 =0cdot(-2)-1cdot1=-1neq0
Como o determinante é diferente de zero, u e v são linearmente independentes e portanto geram todo R^2, isto é, um plano.

Resposta

a=8u+3v, b=-3u-2v.
Sim, u e v geram um plano (formam base de R^2).

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