Questão 5 (2 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas justificando cada uma das respostas:
b) (0,5 ponto) 0 conjunto S=(a, a^3) / a in R é subespaço de R^2

Passo 1

O enunciado define
S = (a,a^3)mid ainRsubsetR^2
e pergunta se S é subespaço de R^2. Lembrando que S é subespaço se e somente se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero: basta tomar a=0. Então
(0,0^3)=(0,0)in S
Logo, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Testamos o fechamento sob soma. Se (a,a^3) e (b,b^3) estão em S, a soma é
(a,a^3)+(b,b^3) = (a+b,;a^3+b^3)
Para que este resultado pertença a S, haveria de existir c tal que
(a+b,;a^3+b^3) = l(c,c^3r)
Então c=a+b e precisaríamos ter
(a+b)^3 = a^3 + b^3
Porém
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b),
de modo que só seria igual a a^3+b^3 se 3ab(a+b)=0 para todo a,b, o que não ocorre em geral.
Como exemplo concreto,
(1,1)in S e (1,1)in S mas (1,1)+(1,1)=(2,2)notin S
pois em S todo vetor é da forma (c,c^3) e aqui 2^3=8neq2. Assim, S não é fechado sob soma.

Passo 4

Como falha a condição de fechamento sob soma, S não pode ser subespaço de R^2.

Resposta

Falsa. O conjunto S não é subespaço de R^2 por não ser fechado sob adição.

Exercícios relacionados