Questão 5 (2 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas justificando cada uma das respostas:
b) (0,5 ponto) 0 conjunto
é subespaço de
b) (0,5 ponto) 0 conjunto
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é subespaço de
. Lembrando que
é subespaço se e somente se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero: basta tomar
. Então
Logo, a condição (i) está satisfeita.
Passo 3
Testamos o fechamento sob soma. Se
e
estão em
, a soma é
Para que este resultado pertença a
, haveria de existir
tal que
Então
e precisaríamos ter
Porém
de modo que só seria igual a
se
para todo
, o que não ocorre em geral.
Como exemplo concreto,
Como exemplo concreto,
pois em
todo vetor é da forma
e aqui
. Assim,
não é fechado sob soma.
Passo 4
Como falha a condição de fechamento sob soma,
não pode ser subespaço de
.
Resposta
Falsa. O conjunto
não é subespaço de
por não ser fechado sob adição.