Dados os vetores ⃗ u = ( 4 , 2 , − 3 ) e ⃗ v = ( 1 , 0 , 2 ) , obtenha um vetor ⃗ w ortogonal aos vetores ⃗ u e ⃗ v

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, u = (4, 2, -3) e v = (1, 0, 2), e precisamos encontrar um vetor w que seja ortogonal a ambos. Isso está dentro do assunto de Álgebra Linear, mais especificamente sobre vetores e produtos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial. Se tivermos dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial u times v é dado por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Isso nos dá um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos vetores que temos. Para u = (4, 2, -3) e v = (1, 0, 2), vamos calcular cada componente do produto vetorial:
  1. Primeira componente:
u2 v3 - u3 v2 = 2 times 2 - (-3) times 0 = 4 - 0 = 4
  1. Segunda componente:
u3 v1 - u1 v3 = (-3) times 1 - 4 times 2 = -3 - 8 = -11
  1. Terceira componente:
u1 v2 - u2 v1 = 4 times 0 - 2 times 1 = 0 - 2 = -2

Passo 4

Agora, juntando as três componentes que calculamos, o vetor w é:
w = (4, -11, -2)
Esse é o vetor que é ortogonal a ambos u e v.

Resposta

w = (4, -11, -2)

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