Por um ponto P, distante 18 cm do centro de uma circunferência, traça-se uma secante que determina na circunferência uma corda AB, que mede 8 cm. Se o comprimento do raio da circunferência é 12 cm, determine:
a) O comprimento do segmento de secante traçada do ponto P
b) O comprimento do segmento externo dessa secante.
a) O comprimento do segmento de secante traçada do ponto P
b) O comprimento do segmento externo dessa secante.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo circunferências. O enunciado diz que temos um ponto $ P $ a 18 cm do centro de uma circunferência com raio de 12 cm. Traçamos uma secante a partir de $ P $ que corta a circunferência nos pontos $ A $ e $ B $, formando uma corda $ AB $ que mede 8 cm. Precisamos determinar:
a) O comprimento do segmento da secante traçada a partir do ponto $ P $.
b) O comprimento do segmento externo dessa secante.
Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema das Secantes, que relaciona os segmentos formados por uma secante e o centro da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos do problema:
- Distância do ponto $ P $ ao centro da circunferência $ O $: $ PO = 18 $ cm.
- Raio da circunferência: $ R = 12 $ cm.
- Comprimento da corda $ AB $: $ AB = 8 $ cm.
Passo 3
Segundo o Teorema das Secantes, temos a relação:
Aqui, $ PA $ é o segmento da secante de $ P $ até $ A $ e $ PB $ é de $ P $ até $ B $.
Passo 4
Calculamos $ (PO)^2 - R^2 $:
Então,
Passo 5
Sabemos que a corda $ AB $ mede 8 cm, o que significa que a diferença entre $ PB $ e $ PA $ é 8 cm:
Podemos expressar $ PB $ em termos de $ PA $:
Passo 6
Substituímos $ PB $ na equação do Teorema das Secantes:
Isso resulta em uma equação quadrática:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 8 $ e $ c = -180 $:
Como comprimentos são positivos, descartamos a solução negativa:
Passo 8
Portanto, o segmento $ PA $ mede 10 cm. Como $ PB = PA + 8 $:
Passo 9
a) O comprimento do segmento da secante traçada a partir do ponto $ P $ é $ PA = 10 $ cm.
b) O segmento externo da secante é o segmento de $ P $ até o ponto onde a secante se estende além da circunferência. Neste caso, como $ PO = 18 $ cm e $ PA = 10 $ cm:
Resposta
a) O comprimento do segmento da secante a partir de $ P $ é 10 cm.
b) O comprimento do segmento externo dessa secante é 8 cm.