Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro é igual a 30 cm e a diferença entre o dobro da base e altura igual a 6cm?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 30 cm. Além disso, a diferença entre o dobro da base e a altura é igual a 6 cm. Vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro de retângulos e resolver um sistema de equações para achar a base e a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o perímetro de um retângulo. O perímetro $ P $ é a soma de todos os lados, então para um retângulo com base $ b $ e altura $ h $, a fórmula é:
P
Aqui, já sabemos que o perímetro é 30 cm, então:
b

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda condição do problema: a diferença entre o dobro da base e a altura é 6 cm. Isso pode ser escrito como uma equação:
2b - h = 6

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2b + 2h = 30 2b - h = 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ b $ e $ h $.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para $ h $:
h
2b - h = 6
Agora temos $ h $ expresso em termos de $ b $.

Passo 6

Substituímos $ h = 2b - 6 $ na primeira equação:
h = 2b - 6
2b + 2(2b - 6) = 30
2b + 4b - 12 = 30

Passo 7

Agora, resolvemos para $ b $:
b
6b - 12 = 30
6b = 30 + 12
6b = 42
b = 426

Passo 8

Com o valor de $ b $, encontramos $ h $ usando $ h = 2b - 6 $:
b
h
h = 2b - 6

Resposta

As dimensões do retângulo são base igual a 7 cm e altura igual a 8 cm.

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