Assinale a alternativa que contém a equação da parábola de foco F(0,3) e reta diretriz de equação x-2=0.
a) (y-3)²= -4(x+1)
b) (y-3)²=-4(x-1)
c) (y-3)²= 4(x-1)
d) (y+3)²= -4(x-1)
e) (y-3)²= 4(x+1)
a) (y-3)²= -4(x+1)
b) (y-3)²=-4(x-1)
c) (y-3)²= 4(x-1)
d) (y+3)²= -4(x-1)
e) (y-3)²= 4(x+1)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos achar a equação de uma parábola que tem o foco em $ F(0,3) $ e a reta diretriz dada pela equação $ x - 2 = 0 $. Vamos usar conceitos básicos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que a parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. A diretriz $ x - 2 = 0 $ é uma linha vertical passando pelo ponto $ x = 2 $. Como o foco está em $ (0,3) $, a parábola vai abrir para a esquerda ou para a direita.
Passo 3
A distância entre o foco e a diretriz é a distância horizontal entre $ x = 0 $ (coordenada x do foco) e $ x = 2 $ (diretriz), que é $ 2 $ unidades. O vértice da parábola fica exatamente no meio dessa distância. Então, a coordenada x do vértice é $ \frac{0 + 2}{2} = 1 $, e como o foco está em $ y = 3 $, o vértice é $ (1,3) $.
Passo 4
Sabendo que a parábola abre para a esquerda (porque o foco está à esquerda da diretriz), usamos a forma padrão da equação da parábola horizontal:
onde $ (h,k) $ é o vértice e $ p $ é a distância do vértice ao foco. Aqui, $ h = 1 $, $ k = 3 $ e $ p = -1 $ (negativo porque a parábola abre para a esquerda).
Passo 5
Substituindo os valores na equação padrão:
Simplificando:
Essa é a equação da parábola que estamos procurando.
Resposta
A alternativa correta é a letra b):