Dados os vetores u=(2, -3, -1) e v=(1, -1, 4) o resultado de (u+v).(u-v) é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores: $ \mathbf{u} = (2, -3, -1) $ e $ \mathbf{v} = (1, -1, 4) $. A missão é encontrar o resultado de $ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v}) $. Vamos precisar saber como somar e subtrair vetores, além de calcular o produto escalar (ou produto ponto) entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $. Para somar vetores, a gente soma componente por componente. Então:
u

Passo 3

Agora, vamos subtrair o vetor $ \mathbf{v} $ do vetor $ \mathbf{u} $. A subtração também é feita componente por componente:
v

Passo 4

Com os vetores $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (3, -4, 3) $ e $ \mathbf{u} - \mathbf{v} = (1, -2, -5) $ prontos, vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ e $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ é dado por:
u + v = (3, -4, 3)
Aplicando isso aos nossos vetores:
u - v = (1, -2, -5)

Passo 5

Vamos calcular cada multiplicação:
3 times 1 = 3
-4 times -2 = 8
3 times -5 = -15
Agora, somamos esses resultados:
3 + 8 + (-15) = 3 + 8 - 15 = 11 - 15 = -4

Resposta

O resultado de $ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v}) $ é igual a -4.

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