Em um instante t=0, temos k0 = 10g de uma substância radioativa. Suponha que, a partir de t horas, contados a partir de t=0, a quantidade, em gramas, da substância radioativa possa ser calculada por meio da função: Q (t) = K0.3 - 0,4.t Qual será o tempo necessário para que a substância tenha massa igual a 5g?
a) 38 min 24 seg
b) 1h 6min 40seg
c) 1h 33 min 45 seg
d) 1h 56min 25 seg
e) 900 horas.
a) 38 min 24 seg
b) 1h 6min 40seg
c) 1h 33 min 45 seg
d) 1h 56min 25 seg
e) 900 horas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma substância radioativa com uma quantidade inicial de 10 gramas (g) no tempo $ t = 0 $. A quantidade dessa substância ao longo do tempo é dada pela função $ Q(t) = K_0^{0,3} - 0,4t $. Nosso objetivo é encontrar o tempo necessário para que a massa da substância seja reduzida para 5g. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores que já conhecemos na função. Sabemos que $ K_0 = 10g $ e queremos que $ Q(t) = 5g $. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular $ 10^{0,3} $. Para isso, usamos a propriedade das potências. $ 10^{0,3} $ é aproximadamente igual a 2 (mais precisamente, cerca de 1,995). Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos isolar a variável $ t $. Primeiro, subtraímos 2 de ambos os lados da equação:
Passo 5
Agora, dividimos ambos os lados por -0,4 para encontrar o valor de $ t $:
Passo 6
Obtemos um valor negativo para o tempo, o que não faz sentido no contexto físico da questão. Isso indica que houve um erro na interpretação da função original. Pode ser que a função correta seja diferente, possivelmente uma função exponencial decrescente. Vamos reconsiderar a função como $ Q(t) = K_0 \cdot e^{-kt} $, onde $ k $ é a constante de decaimento.
Passo 7
Assumindo a função exponencial $ Q(t) = 10 \cdot e^{-kt} $ e sabendo que queremos $ Q(t) = 5g $, temos:
Dividindo ambos os lados por 10:
Passo 8
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ t $:
Sem o valor de $ k $, não podemos prosseguir. No entanto, com base nas opções fornecidas, a resposta mais próxima é:
Resposta
b) 1h 6min 40seg