Dados os vetores u=(5,1,2), v=(-8,8,7) e w=(9,4,3), calcular:
2|v| w

Passo 1

O enunciado dá os vetores \;u=(5,1,2),\;v=(-8,8,7) e \;w=(9,4,3)\; e pede para calcular \;2|v|\,w.\n
Informações relevantes:
  • O vetor cujo módulo aparece é v=(-8,8,7).
  • O vetor que será escalado pelo escalar 2|v| é w=(9,4,3).
  • Precisa-se primeiro calcular o módulo |v| e depois multiplicar w pelo escalar 2|v|.

Passo 2

Definição e fórmula do módulo (norma) de um vetor em \mathbb{R}^3.
Para um vetor \;v=(v_1,v_2,v_3)\;, o módulo |v| é dado por
|v|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Aqui v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor (os números que aparecem entre parênteses). Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras estendido para três dimensões: soma dos quadrados das componentes, e depois a raiz quadrada.
Aplicando a v=(-8,8,7):
|v|=\sqrt{(-8)^{2}+8^{2}+7^{2}}=\sqrt{64+64+49}=\sqrt{177}.

Passo 3

Calcular o escalar \;2|v|.
Temos |v|=\sqrt{177}, logo
2|v|=2\sqrt{177}.

Passo 4

Explicar a multiplicação escalar por um vetor e efetuar a operação.
Se k é um número real (escalar) e w=(w_1,w_2,w_3) é um vetor, a multiplicação escalar k w é feita multiplicando-se cada componente de w por k:
k w = (k w_1,\; k w_2,\; k w_3).
Aqui k=2\sqrt{177} e w=(9,4,3). Então multiplicando componente a componente:
2\sqrt{177}\cdot 9 = 18\sqrt{177},
2\sqrt{177}\cdot 4 = 8\sqrt{177},
2\sqrt{177}\cdot 3 = 6\sqrt{177}.

Passo 5

Interpretação numérica rápida (opcional, só para intuição).
Aproximação de \sqrt{177}: \sqrt{177}\approx 13{,}304. Então 2\sqrt{177}\approx 26{,}608 e
2|v|\,w \approx (239{,}472,\;106{,}432,\;79{,}824),
o que confirma a ordem de grandeza das componentes exatas obtidas antes.

Resposta

(18\sqrt{177},8\sqrt{177},6\sqrt{177})

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