Dados os vetores u=(5,1,2), v=(-8,8,7) e w=(9,4,3), calcular:
|u+v+w|

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede o módulo (norma) do somatório deles. Os dados fornecidos são:
  • \,u=(5,1,2),
  • \,v=(-8,8,7),
  • \,w=(9,4,3).
A pergunta é calcular \left|u+v+w\right|.

Passo 2

O que vou fazer (de modo simples e direto): primeiro somar os vetores componente a componente para obter s=u+v+w. Depois o módulo de um vetor s=(s_1,s_2,s_3) em \mathbb{R}^3 é dado por
\left|s\right|=\sqrt{s_1^{2}+s_2^{2}+s_3^{2}}.
Explicando essa fórmula: cada s_i é a componente na direção x,y,z; ele vem do teorema de Pitágoras generalizado em 3 dimensões — soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada. Vou aplicar isso passo a passo, sem pular contas.

Passo 3

Somar componente a componente:
u+v+w = (\,5+(-8)+9,\; 1+8+4,\; 2+7+3\,).
Agora calcular cada componente:
5+(-8)+9 = 5-8+9 = 6,
1+8+4 = 13,
2+7+3 = 12.
Portanto
u+v+w = (6,13,12).

Passo 4

Agora aplico a fórmula do módulo para s=(6,13,12):
\left|u+v+w\right|=\sqrt{6^{2}+13^{2}+12^{2}}.
Calculo os quadrados e somo:
6^{2}=36,\qquad 13^{2}=169,\qquad 12^{2}=144,
36+169+144=349.
Logo o módulo é \sqrt{349}.

Passo 5

(Faço uma verificação alternativa — útil na prova — usando produto escalar.) Para qualquer vetores u,v,w vale
\left|u+v+w\right|^{2} = \left|u\right|^{2}+\left|v\right|^{2}+\left|w\right|^{2}+2\bigl(u\cdot v + u\cdot w + v\cdot w\bigr).
Calculo as partes:
\left|u\right|^{2}=5^{2}+1^{2}+2^{2}=25+1+4=30,
\left|v\right|^{2}=(-8)^{2}+8^{2}+7^{2}=64+64+49=177,
\left|w\right|^{2}=9^{2}+4^{2}+3^{2}=81+16+9=106.
Produto escalar entre pares:
u\cdot v = 5(-8)+1\cdot8+2\cdot7 = -40+8+14 = -18,
u\cdot w = 5\cdot9+1\cdot4+2\cdot3 = 45+4+6 = 55,
v\cdot w = (-8)\cdot9 + 8\cdot4 + 7\cdot3 = -72+32+21 = -19.
Somando:
30+177+106 = 313,
2\bigl(-18+55-19\bigr) = 2\cdot18 = 36,
313+36 = 349.
Isso confirma que \left|u+v+w\right|^{2}=349, então \left|u+v+w\right|=\sqrt{349}. Boa checagem — números batem.

Passo 6

Resumo rápido para a prova: some componente a componente para obter o vetor resultante e aplique \left|s\right|=\sqrt{\sum s_i^{2}}. Se quiser checar, use a identidade do quadrado do módulo com produtos escalares como fiz acima.

Resposta

\sqrt{349}

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