Calcular os valores de
para que o vetor
tenha módulo 10
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e exige que o módulo (comprimento) de
seja
. Ou seja, procura-se todos os valores de
(assumindo
) tais que o comprimento de
seja
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Componente
do vetor: . - Componente
do vetor: . - Componente
do vetor: (desconhecido que devemos determinar). - Módulo desejado:
.
Passo 2
Entender o que é o módulo de um vetor em
. Para um vetor
, o módulo
é dado pela fórmula (resultado do teorema de Pitágoras em 3 dimensões):
Aqui cada
é a coordenada do vetor ao longo de cada eixo, e elevar ao quadrado e somar captura a “distância” até a origem. Exemplo simples: o módulo de
é
.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao vetor dado
. A condição
vira
Passo 4
Eliminar a raiz quadrada para obter uma equação mais simples. Como ambos os lados da igualdade são não negativos (a raiz produz não negativo e
é não negativo), é seguro elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Elevando ao quadrado obtemos:
Agora calcular os quadrados numéricos:
,
,
. Substituindo,
Passo 5
Somar
:
Isolar
:
Passo 6
Resolver para
tirando a raiz quadrada de ambos os lados. Da equação
seguem duas soluções (positiva e negativa), pois tanto
quanto
dão
:
Valor aproximado para intuição:
.
Passo 7
Verificação rápida (checar que ambas as soluções funcionam): para
tem-se
, portanto
. Ambas as soluções são válidas.