Calcular os valores de a para que o vetor \vec{u}=(5,7, a) tenha módulo 10

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=(5,7,a) e exige que o módulo (comprimento) de \vec{u} seja 10. Ou seja, procura-se todos os valores de a (assumindo a\in\mathbb{R}) tais que o comprimento de \vec{u} seja 10.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componente x do vetor: 5.
  • Componente y do vetor: 7.
  • Componente z do vetor: a (desconhecido que devemos determinar).
  • Módulo desejado: 10.

Passo 2

Entender o que é o módulo de um vetor em \mathbb{R}^3. Para um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o módulo \|\vec{v}\| é dado pela fórmula (resultado do teorema de Pitágoras em 3 dimensões):
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Aqui cada v_i é a coordenada do vetor ao longo de cada eixo, e elevar ao quadrado e somar captura a “distância” até a origem. Exemplo simples: o módulo de (3,4,0) é \sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao vetor dado \vec{u}=(5,7,a). A condição \|\vec{u}\|=10 vira
\sqrt{5^2+7^2+a^2}=10.

Passo 4

Eliminar a raiz quadrada para obter uma equação mais simples. Como ambos os lados da igualdade são não negativos (a raiz produz não negativo e 10 é não negativo), é seguro elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Elevando ao quadrado obtemos:
5^2+7^2+a^2=10^2.
Agora calcular os quadrados numéricos: 5^2=25, 7^2=49, 10^2=100. Substituindo,
25+49+a^2=100.

Passo 5

Somar 25+49:
74+a^2=100.
Isolar a^2:
a^2=100-74=26.

Passo 6

Resolver para a tirando a raiz quadrada de ambos os lados. Da equação a^2=26 seguem duas soluções (positiva e negativa), pois tanto (\sqrt{26})^2 quanto (-\sqrt{26})^2 dão 26:
a=\sqrt{26}\quad\text{ou}\quad a=-\sqrt{26}.
Valor aproximado para intuição: \sqrt{26}\approx5,099.

Passo 7

Verificação rápida (checar que ambas as soluções funcionam): para a=\pm\sqrt{26} tem-se 5^2+7^2+a^2=25+49+26=100, portanto \|\vec{u}\|=\sqrt{100}=10. Ambas as soluções são válidas.

Resposta

a=\sqrt{26}
a=-\sqrt{26}

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