Dados os vetores u=(5,1,2), v=(-8,8,7) e w=(9,4,3), calcular:
|u|^{2}+|v|^{2}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o valor da soma dos quadrados das normas de dois deles. Informações fornecidas:
  • u=(5,1,2).
  • v=(-8,8,7).
    O que pedir: calcular |u|^{2}+|v|^{2}.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (passo a passo, sem pressa).
  • Para um vetor \,x=(x_1,x_2,x_3)\, em \mathbb{R}^3, a norma (magnitude) é
|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.
  • Portanto, o quadrado da norma é simplesmente a soma dos quadrados das componentes:
|x|^{2}=x_1^2+x_2^2+x_3^2.
  • Outra forma equivalente é usar o produto escalar: |x|^{2}=x\cdot x, onde x\cdot x=x_1^2+x_2^2+x_3^2.
    Isso significa que para cada vetor basta elevar cada componente ao quadrado e somar.

Passo 3

Calcular |u|^{2} aplicando a fórmula componente a componente.
As componentes de u são 5,1,2. Então
|u|^{2}=5^{2}+1^{2}+2^{2}.
Calculemos cada termo:
5^{2}=25,\qquad 1^{2}=1,\qquad 2^{2}=4.
Somando:
|u|^{2}=25+1+4=30.

Passo 4

Calcular |v|^{2} da mesma forma.
As componentes de v são -8,8,7. Então
|v|^{2}=(-8)^{2}+8^{2}+7^{2}.
Calculemos cada termo:
(-8)^{2}=64,\qquad 8^{2}=64,\qquad 7^{2}=49.
Somando:
|v|^{2}=64+64+49.

Passo 5

Somar os termos de |v|^{2} e depois somar com |u|^{2}.
Primeiro
64+64=128,\qquad 128+49=177,
portanto |v|^{2}=177.
Agora a soma pedida:
|u|^{2}+|v|^{2}=30+177=207.

Resposta

207

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