Projeto 03 (Valor:
pontos) - Recuperação de energia em veículos elétricos
Nos carros elétricos, os motores funcionam como geradores durante a frenagem, convertendo energia cinética em elétrica.
Considere um veículo com massa
cuja roda motriz tem raio
. O motor atua como um gerador durante a frenagem. Modele o gerador por
espiras efetivas de área
cada uma, girando no campo magnético
.
Você deve propor um projeto viável de gerador, justificando suas escolhas.
a) Modele a roda com uma espira (ou conjunto de espiras) em rotação angular
dentro de um campo magnético
.
b) Obtenha a expressão para o fluxo magnético instantâneo.
c) Obtenha a expressão para a f.e.m. induzida e discuta como ela depende da velocidade do veículo.
d) Faça um esboço ilustrativo do problema e discuta a física do problema.
e) Faça uma estimativa da potência elétrica recuperada com o carro a
e considerando que a resistência total do sistema é de
.
f) Discuta limitações práticas (eficiência, aquecimento, controle eletrônico).
a) Modele a roda com uma espira (ou conjunto de espiras) em rotação angular
b) Obtenha a expressão para o fluxo magnético instantâneo.
c) Obtenha a expressão para a f.e.m. induzida e discuta como ela depende da velocidade do veículo.
d) Faça um esboço ilustrativo do problema e discuta a física do problema.
e) Faça uma estimativa da potência elétrica recuperada com o carro a
f) Discuta limitações práticas (eficiência, aquecimento, controle eletrônico).
Passo 1
O enunciado pede as partes (a)–(f). Dados fornecidos e o que falta definir/assumir:
- Massa do carro:
. - Raio da roda motriz:
. - Velocidade a considerar na estimativa:
. - Resistência total do sistema (dado na parte e):
. - Perguntas a responder:
a) modelar a roda como espira (ou conjunto de espiras) girando comdentro de ;
b) expressão do fluxo magnético instantâneo;
c) expressão da f.e.m. induzida e dependência com a velocidade do veículo;
d) esboço ilustrativo e discussão física;
e) estimativa da potência elétrica recuperada acom ;
f) discutir limitações práticas (eficiência, aquecimento, controle eletrônico). - Observação:
(número de espiras), (área efetiva por espira) e (intensidade do campo) não foram dados — vou propor valores plausíveis e justificá-los no próximo passo (isso é necessário para a estimativa numérica).
Passo 2
Proposta de projeto e justificativa prática (escolhas numéricas que usarei nas contas):
- Arquitetura conceitual: bobinas (conjunto de espiras) acopladas ao eixo/roda que giram dentro de um estator com ímãs permanentes (campo aproximadamente uniforme na região útil). Isso é equivalente a uma espira efetiva por roda com
voltas de área cada. - Escolhas razoáveis (justificativa curta):
- Número de espiras efetivas:
. Justificativa: enrolamentos automotivos de geradores/hubs usam muitas voltas para elevar a tensão; 200 é um valor simples e plausível para um conjunto de bobinas. - Área efetiva por espira:
(por exemplo retângulo ou várias espiras menores em série equivalendo a essa área). Justificativa: ocupa parte do cubo de roda/hub sem interferir na suspensão. - Campo magnético (ímãs de neodímio no estator):
. Justificativa: ímãs permanentes fortes geram campos na faixa – localmente em máquinas compactas.
- Número de espiras efetivas:
- Aviso: os números acima são escolhas para estimativa. Se você reduzir
, ou , a potência cai proporcionalmente.
Passo 3
Modelagem geométrica da espira girando e fluxo magnético:
- Definição da rotação: se a roda (ou a espira acoplada) gira sem deslizamento com velocidade linear do carro
, então a velocidade angular é
Aqui eu suponho rotação a velocidade aproximadamente constante durante a frenagem instantânea considerada.
- Geometria do fluxo: suponha que a normal à superfície da espira faça um ângulo
com a direção do campo . Para rotação uniforme com eixo apropriado, . Para simplificar posso escolher . - Fluxo magnético instantâneo (definição e fórmula): fluxo através de uma espira é a integral do campo sobre a área projetada; para campo uniforme e espira plana,
Explicação das variáveis:
-
: fluxo magnético total nas espiras (unidade: weber, Wb). -
: número de voltas/espiras efetivas. -
: magnitude do campo magnético (tesla). -
: área da espira (m^2). -
: ângulo entre a normal da espira e .
Passo 4
Cálculo da f.e.m. induzida (lei de Faraday) e relação com velocidade:
- Faraday: a força eletromotriz instantânea induzida é
- Derivando
:
(Usei
. O sinal “-” na lei de Faraday incorpora a regra de Lenz; aqui eu escrevo a forma positiva para a amplitude e explico a direção por Lenz em seguida.)
- Relacionando
com a velocidade do veículo:
- Interpretação: a amplitude da f.e.m. é diretamente proporcional à velocidade
. Ou seja, duplicando você duplica a amplitude da tensão gerada (em regime linear e sem saturação magnética).
Passo 5
Discussão detalhada da dependência com a velocidade e frequência do sinal:
- Amplitude máxima da f.e.m. (valor de pico):
- Valor eficaz (rms) se for senoidal:
- A frequência da tensão é
- Exemplo numérico com as escolhas do Passo 2 e
: -
. -
-
-
-
- Conclusão didática: a tensão cresce linearmente com
; também o regime é AC senoidal cuja frequência sobe com velocidade.
Passo 6
Estimativa de potência elétrica recuperada (cálculo passo a passo):
- Circuito simples: f.e.m. senoidal
alimenta uma resistência total (dado ). Energia dissipada média em :
- Usando os números do Passo 5:
-
. -
. - Potência média:
-
- Corrente eficaz no sistema:
- Verificação física (ordem de grandeza): energia cinética do veículo a
é
Com
o tempo teórico para dissipar toda
seria
o que é coerente com uma frenagem forte em alguns segundos.
- Torque de frenagem elétrica (ordem de grandeza): potência mecânica convertida é
e é , então torque na roda
Força de freio no aro
.
A desaceleração aproximada (≈0,17 g).
A desaceleração aproximada
- Observação prática: esses valores são altas correntes e potências — em veículo real precisa-se de eletrônica de potência (retificação, controle de corrente), bateria capaz de aceitar a potência de carga, e limitação do torque para evitar travamento das rodas.
Passo 7
Esboço ilustrativo (descrição) e discussão física (Lenz, direção de corrente, conversão de energia)
- Esboço verbal (faça um desenho simples na folha): desenhe uma roda circular de raio
; no interior do cubo da roda, desenhe um conjunto de bobinas (espira) acopladas ao eixo que gira com a roda; ao redor das bobinas, desenhe um anel de ímãs permanentes espacados no estator, criando um campo atravessando as espiras. Indique de rotação e mostre a área da espira. - Física (passo a passo, intuitivo):
- Quando a roda gira, a área da espira “vê” um campo que muda em relação à sua orientação → fluxo magnético varia → Faraday diz que aparece tensão induzida.
- A corrente que surge tende a produzir um momento magnético que se opõe à variação do fluxo (regra de Lenz). Isso significa que a corrente gerada cria um torque que se opõe à rotação — exatamente o torque de frenagem elétrica.
- A energia cinética do carro é convertida em energia elétrica entregue ao circuito (bateria/condensador/resistência), e parte é dissipada como calor se não for armazenada.
- Para usar essa energia na prática é preciso: retificar a tensão AC para DC, controlar a corrente (para limitar torque e proteger bateria) e gerenciar perdas térmicas.
Passo 8
Limitações práticas e considerações de projeto (eficiência, aquecimento, controle)
- Eficiência: perdas magnéticas (histerese, correntes parasitas), resistivas (
) e perdas nas eletrônicas de potência reduzem a energia recuperável. Sistemas reais recuperam tipicamente – da energia cinética disponível em frenagens ideais (depende do estado da bateria). - Aquecimento:
da ordem de centenas de ampères gera aquecimento nas bobinas e na fiação; é necessário dimensionar condutores, usar bobinas com boa dissipação térmica e limitar corrente por controle eletrônico. - Controle eletrônico: é imprescindível retificar a saída AC, usar conversores/DC-DC para ajustar tensão/corrente para a bateria, controlar a corrente para modular torque (integração com ABS/controle de estabilidade), e proteger contra sobrecarga.
- Limites do banco de baterias: bateria tem taxa máxima de carga (C-rate); se o gerador produzir mais potência do que a bateria aceita, o excedente precisa ser dissipado (ou devolvido como aquecimento) ou armazenado em supercapacitores temporariamente.
- Saturação magnética e dimensionamento: se você tentar aumentar
, ou demais, pode haver saturação do núcleo/traço magnético (reduz benefício), e o peso/tamanho aumentam. - Mecânica e segurança: torque elétrico forte exige controle para evitar travamento/derrapagem — sistema deve integrar frenagem mecânica e regenerativa com estratégia de mistura.
Resposta
a) Modelo: espira (ou conjunto de
espiras) de área
girando com
acoplada à roda, vendo campo uniforme
;
.\n
b) Fluxo magnético instantâneo: \n
c) f.e.m. induzida e dependência com velocidade: (amplitude
— cresce linearmente com
).\n
d) Esboço/descrição: bobinas montadas no cubo/raiz da roda giram em torno do eixo, com ímãs permanentes no estator criando ; ao girar varia o fluxo → tensão senoidal → corrente → torque eletromagnético que freia (regra de Lenz). Física: conversão de energia cinética → elétrica; necessidade de retificação e controle para modular torque e proteger bateria.\n
e) Estimativa numérica (com ):
,
,
,
, potência média
(torque eletromagnético aproximado
).\n
f) Limitações práticas: altas correntes e aquecimento ( ); perdas magnéticas e eletrônicas reduzem eficiência (recuperação real menor que o cálculo ideal); necessidade de retificação, conversores DC-DC e controle de corrente; limitação pela taxa de carga da bateria; necessidade de controle integrado com ABS para evitar travamento.
b) Fluxo magnético instantâneo:
c) f.e.m. induzida e dependência com velocidade:
d) Esboço/descrição: bobinas montadas no cubo/raiz da roda giram em torno do eixo, com ímãs permanentes no estator criando
e) Estimativa numérica (com
f) Limitações práticas: altas correntes e aquecimento (