Projeto 03 (Valor: \mathbf{4 , 0} pontos) - Recuperação de energia em veículos elétricos

Nos carros elétricos, os motores funcionam como geradores durante a frenagem, convertendo energia cinética em elétrica.
Considere um veículo com massa m=1350 \mathrm{~kg} cuja roda motriz tem raio r=0,30 \mathrm{~m}. O motor atua como um gerador durante a frenagem. Modele o gerador por N espiras efetivas de área A cada uma, girando no campo magnético \vec{B}.
Você deve propor um projeto viável de gerador, justificando suas escolhas.
a) Modele a roda com uma espira (ou conjunto de espiras) em rotação angular \omega(t) dentro de um campo magnético \vec{B}.
b) Obtenha a expressão para o fluxo magnético instantâneo.
c) Obtenha a expressão para a f.e.m. induzida e discuta como ela depende da velocidade do veículo.
d) Faça um esboço ilustrativo do problema e discuta a física do problema.
e) Faça uma estimativa da potência elétrica recuperada com o carro a 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e considerando que a resistência total do sistema é de 0,5 \Omega.
f) Discuta limitações práticas (eficiência, aquecimento, controle eletrônico).

Passo 1

O enunciado pede as partes (a)–(f). Dados fornecidos e o que falta definir/assumir:
  • Massa do carro: m=1350\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da roda motriz: r=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade a considerar na estimativa: 72\\ \mathrm{km/h}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • Resistência total do sistema (dado na parte e): R=0,5\\ \Omega.
  • Perguntas a responder:
    a) modelar a roda como espira (ou conjunto de espiras) girando com \omega(t) dentro de \vec{B};
    b) expressão do fluxo magnético instantâneo;
    c) expressão da f.e.m. induzida e dependência com a velocidade do veículo;
    d) esboço ilustrativo e discussão física;
    e) estimativa da potência elétrica recuperada a 72\\ \mathrm{km/h} com R=0,5\\ \Omega;
    f) discutir limitações práticas (eficiência, aquecimento, controle eletrônico).
  • Observação: N (número de espiras), A (área efetiva por espira) e B (intensidade do campo) não foram dados — vou propor valores plausíveis e justificá-los no próximo passo (isso é necessário para a estimativa numérica).

Passo 2

Proposta de projeto e justificativa prática (escolhas numéricas que usarei nas contas):
  • Arquitetura conceitual: bobinas (conjunto de espiras) acopladas ao eixo/roda que giram dentro de um estator com ímãs permanentes (campo aproximadamente uniforme na região útil). Isso é equivalente a uma espira efetiva por roda com N voltas de área A cada.
  • Escolhas razoáveis (justificativa curta):
    • Número de espiras efetivas: N=200. Justificativa: enrolamentos automotivos de geradores/hubs usam muitas voltas para elevar a tensão; 200 é um valor simples e plausível para um conjunto de bobinas.
    • Área efetiva por espira: A=0,02\\ \mathrm{m^2} (por exemplo retângulo 0,2\times0,1\\ \mathrm{m} ou várias espiras menores em série equivalendo a essa área). Justificativa: ocupa parte do cubo de roda/hub sem interferir na suspensão.
    • Campo magnético (ímãs de neodímio no estator): B=0,8\\ \mathrm{T}. Justificativa: ímãs permanentes fortes geram campos na faixa 0{,}5 1{,}2\\ \mathrm{T} localmente em máquinas compactas.
  • Aviso: os números acima são escolhas para estimativa. Se você reduzir N, A ou B, a potência cai proporcionalmente.

Passo 3

Modelagem geométrica da espira girando e fluxo magnético:
  • Definição da rotação: se a roda (ou a espira acoplada) gira sem deslizamento com velocidade linear do carro v, então a velocidade angular é
\omega(t)=\omega=\frac{v}{r}.
Aqui eu suponho rotação a velocidade aproximadamente constante durante a frenagem instantânea considerada.
  • Geometria do fluxo: suponha que a normal à superfície da espira faça um ângulo \theta(t) com a direção do campo \vec{B}. Para rotação uniforme com eixo apropriado, \theta(t)=\omega t+\theta_0. Para simplificar posso escolher \theta_0=0.
  • Fluxo magnético instantâneo (definição e fórmula): fluxo através de uma espira é a integral do campo sobre a área projetada; para campo uniforme e espira plana,
\Phi(t)=N\,B\,A\cos\big(\theta(t)\big).
Explicação das variáveis:
  • \Phi(t): fluxo magnético total nas N espiras (unidade: weber, Wb).
  • N: número de voltas/espiras efetivas.
  • B: magnitude do campo magnético (tesla).
  • A: área da espira (m^2).
  • \theta(t): ângulo entre a normal da espira e \vec{B}.

Passo 4

Cálculo da f.e.m. induzida (lei de Faraday) e relação com velocidade:
  • Faraday: a força eletromotriz instantânea induzida é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
  • Derivando \Phi(t):
\Phi(t)=N\,B\,A\cos(\omega t)\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}(t)=-\frac{d}{dt}\big(NBA\cos(\omega t)\big)=N\,B\,A\,\omega\sin(\omega t).
(Usei \theta(t)=\omega t. O sinal “-” na lei de Faraday incorpora a regra de Lenz; aqui eu escrevo a forma positiva para a amplitude e explico a direção por Lenz em seguida.)
  • Relacionando \omega com a velocidade do veículo:
\omega=\frac{v}{r}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}(t)=N\,B\,A\frac{v}{r}\sin\!\big(\omega t\big).
  • Interpretação: a amplitude da f.e.m. é diretamente proporcional à velocidade v. Ou seja, duplicando v você duplica a amplitude da tensão gerada (em regime linear e sem saturação magnética).

Passo 5

Discussão detalhada da dependência com a velocidade e frequência do sinal:
  • Amplitude máxima da f.e.m. (valor de pico):
\mathcal{E}_0 = N\,B\,A\,\omega = N\,B\,A\frac{v}{r}.
  • Valor eficaz (rms) se for senoidal:
\mathcal{E}_{\mathrm{rms}}=\frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2}}.
  • A frequência da tensão é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{2\pi r}.
  • Exemplo numérico com as escolhas do Passo 2 e v=20\\ \mathrm{m/s}:
    • \omega=\dfrac{20}{0,30}=66{,}666\\ \mathrm{rad/s}.
    • \mathcal{E}_0=200\cdot0{,}8\cdot0{,}02\cdot66{,}666\approx213{,}33\\ \mathrm{V}.
    • \mathcal{E}_{\mathrm{rms}}\approx\dfrac{213{,}33}{\sqrt{2}}\approx150{,}7\\ \mathrm{V}.
    • f=\dfrac{66{,}666}{2\pi}\approx10{,}61\\ \mathrm{Hz}.
  • Conclusão didática: a tensão cresce linearmente com v; também o regime é AC senoidal cuja frequência sobe com velocidade.

Passo 6

Estimativa de potência elétrica recuperada (cálculo passo a passo):
  • Circuito simples: f.e.m. senoidal \mathcal{E}(t) alimenta uma resistência total R (dado 0,5\\ \Omega). Energia dissipada média em R:
P_{\mathrm{média}}=\frac{\mathcal{E}_{\mathrm{rms}}^{2}}{R}=\frac{\mathcal{E}_0^{2}}{2R}.é
  • Usando os números do Passo 5:
    • \mathcal{E}_0\approx213{,}33\\ \mathrm{V}.
    • \mathcal{E}_{\mathrm{rms}}\approx150{,}7\\ \mathrm{V}.
    • Potência média:
    P=\frac{(150{,}7)^2}{0{,}5}\approx\frac{22699}{0{,}5}\approx45398\\ \mathrm{W}\approx45{,}4\\ \mathrm{kW}.
  • Corrente eficaz no sistema:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{\mathcal{E}_{\mathrm{rms}}}{R}\approx\frac{150{,}7}{0{,}5}\approx301{,}4\\ \mathrm{A}.
  • Verificação física (ordem de grandeza): energia cinética do veículo a 20\\ \mathrm{m/s} é
E_k=\tfrac{1}{2}mv^2=\tfrac{1}{2}\cdot1350\cdot20^2=270000\\ \mathrm{J}.
Com P\approx45{,}4\\ \mathrm{kW} o tempo teórico para dissipar toda E_k seria
t=\frac{E_k}{P}\approx\frac{270000}{45398}\approx5{,}95\\ \mathrm{s},
o que é coerente com uma frenagem forte em alguns segundos.
  • Torque de frenagem elétrica (ordem de grandeza): potência mecânica convertida é P e \omega é 66{,}666\\ \mathrm{rad/s}, então torque na roda
\tau=\frac{P}{\omega}\approx\frac{45398}{66{,}666}\approx681\\ \mathrm{N\cdot m}.
Força de freio no aro F=\tau/r\approx681/0{,}30\approx2270\\ \mathrm{N}.
A desaceleração aproximada a=F/m\approx2270/1350\approx1{,}68\\ \mathrm{m/s^2} (≈0,17 g).
  • Observação prática: esses valores são altas correntes e potências — em veículo real precisa-se de eletrônica de potência (retificação, controle de corrente), bateria capaz de aceitar a potência de carga, e limitação do torque para evitar travamento das rodas.

Passo 7

Esboço ilustrativo (descrição) e discussão física (Lenz, direção de corrente, conversão de energia)
  • Esboço verbal (faça um desenho simples na folha): desenhe uma roda circular de raio r; no interior do cubo da roda, desenhe um conjunto de bobinas (espira) acopladas ao eixo que gira com a roda; ao redor das bobinas, desenhe um anel de ímãs permanentes espacados no estator, criando um campo \vec{B} atravessando as espiras. Indique \omega de rotação e mostre a área A da espira.
  • Física (passo a passo, intuitivo):
    • Quando a roda gira, a área da espira “vê” um campo que muda em relação à sua orientação → fluxo magnético varia → Faraday diz que aparece tensão induzida.
    • A corrente que surge tende a produzir um momento magnético que se opõe à variação do fluxo (regra de Lenz). Isso significa que a corrente gerada cria um torque que se opõe à rotação — exatamente o torque de frenagem elétrica.
    • A energia cinética do carro é convertida em energia elétrica entregue ao circuito (bateria/condensador/resistência), e parte é dissipada como calor se não for armazenada.
    • Para usar essa energia na prática é preciso: retificar a tensão AC para DC, controlar a corrente (para limitar torque e proteger bateria) e gerenciar perdas térmicas.

Passo 8

Limitações práticas e considerações de projeto (eficiência, aquecimento, controle)
  • Eficiência: perdas magnéticas (histerese, correntes parasitas), resistivas ( I^2R) e perdas nas eletrônicas de potência reduzem a energia recuperável. Sistemas reais recuperam tipicamente 50\% 70\% da energia cinética disponível em frenagens ideais (depende do estado da bateria).
  • Aquecimento: I_{\mathrm{rms}} da ordem de centenas de ampères gera aquecimento nas bobinas e na fiação; é necessário dimensionar condutores, usar bobinas com boa dissipação térmica e limitar corrente por controle eletrônico.
  • Controle eletrônico: é imprescindível retificar a saída AC, usar conversores/DC-DC para ajustar tensão/corrente para a bateria, controlar a corrente para modular torque (integração com ABS/controle de estabilidade), e proteger contra sobrecarga.
  • Limites do banco de baterias: bateria tem taxa máxima de carga (C-rate); se o gerador produzir mais potência do que a bateria aceita, o excedente precisa ser dissipado (ou devolvido como aquecimento) ou armazenado em supercapacitores temporariamente.
  • Saturação magnética e dimensionamento: se você tentar aumentar N, A ou B demais, pode haver saturação do núcleo/traço magnético (reduz benefício), e o peso/tamanho aumentam.
  • Mecânica e segurança: torque elétrico forte exige controle para evitar travamento/derrapagem — sistema deve integrar frenagem mecânica e regenerativa com estratégia de mistura.

Resposta

a) Modelo: espira (ou conjunto de N espiras) de área A girando com \omega(t) acoplada à roda, vendo campo uniforme \vec{B}; \omega=v/r.\n
b) Fluxo magnético instantâneo: \displaystyle \Phi(t)=N\,B\,A\cos\big(\omega t\big).\n
c) f.e.m. induzida e dependência com velocidade: \displaystyle \mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}=N\,B\,A\,\omega\sin(\omega t)=N\,B\,A\frac{v}{r}\sin(\omega t). (amplitude \mathcal{E}_0=NBA\frac{v}{r} — cresce linearmente com v).\n
d) Esboço/descrição: bobinas montadas no cubo/raiz da roda giram em torno do eixo, com ímãs permanentes no estator criando \vec{B}; ao girar varia o fluxo → tensão senoidal → corrente → torque eletromagnético que freia (regra de Lenz). Física: conversão de energia cinética → elétrica; necessidade de retificação e controle para modular torque e proteger bateria.\n
e) Estimativa numérica (com N=200,\\ A=0{,}02\\ \mathrm{m^2},\\ B=0{,}8\\ \mathrm{T},\\ v=20\\ \mathrm{m/s},\\ R=0{,}5\\ \Omega): \omega\approx66{,}67\\ \mathrm{rad/s}, \mathcal{E}_0\approx213{,}3\\ \mathrm{V}, \mathcal{E}_{\mathrm{rms}}\approx150{,}7\\ \mathrm{V}, I_{\mathrm{rms}}\approx301{,}4\\ \mathrm{A}, potência média P\approx45{,}4\\ \mathrm{kW} (torque eletromagnético aproximado \tau\approx681\\ \mathrm{N\cdot m}).\n
f) Limitações práticas: altas correntes e aquecimento ( I^2R); perdas magnéticas e eletrônicas reduzem eficiência (recuperação real menor que o cálculo ideal); necessidade de retificação, conversores DC-DC e controle de corrente; limitação pela taxa de carga da bateria; necessidade de controle integrado com ABS para evitar travamento.

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