Dados os vetores u=(3,1,1), v=(-4,1,3) e w=(1,2,0), determinar x (vetor) de modo que x seja perpendicular a w e x produto u= v. Resposta: não existe x (vetor) porque u não é ortogonal a v.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
- $ \mathbf{u} = (3, 1, 1) $
- $ \mathbf{v} = (-4, 1, 3) $
- $ \mathbf{w} = (1, 2, 0) $
Queremos encontrar um vetor $ \mathbf{x} $ que satisfaça duas condições:
- $ \mathbf{x} $ é perpendicular a $ \mathbf{w} $.
- O produto escalar de $ \mathbf{x} $ com $ \mathbf{u} $ é igual a $ \mathbf{v} $.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e as condições de perpendicularidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a segunda condição: o produto escalar de $ \mathbf{x} $ com $ \mathbf{u} $ ser igual a $ \mathbf{v} $. Porém, isso não faz sentido porque o resultado do produto escalar é um número, e não um vetor. Então, provavelmente há um erro no enunciado, e a intenção é que $ \mathbf{x} $ satisfaça $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{u} = c $, onde $ c $ é um escalar.
Mas, de acordo com a resposta que você mencionou, vamos considerar que a relação correta é que $ \mathbf{x} $ precisa ser tal que $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{v} $, o que realmente não faz sentido, já que estamos igualando um escalar a um vetor.
Passo 3
Além disso, para que exista um vetor $ \mathbf{x} $ que seja perpendicular a $ \mathbf{w} $, o produto escalar $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{w} $ deve ser zero:
Se tentarmos resolver o sistema considerando que $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{v} $, percebemos que estamos tentando igualar um escalar (resultado do produto escalar) a um vetor, o que é impossível.
Passo 4
Portanto, concluímos que não existe tal vetor $ \mathbf{x} $ que satisfaça ambas as condições impostas pelo exercício. A razão é que a condição $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{v} $ não pode ser atendida, já que estamos tentando igualar um número a um vetor, o que é matematicamente inviável.
Resposta
Não existe $ \mathbf{x} $ (vetor) porque $ \mathbf{u} $ não é ortogonal a $ \mathbf{v} $.