A haste (de 7 metros de comprimento) de uma bandeira está apoiada, verticalmente sobre o telhado de uma escola. De um ponto do plano horizontal onde a escola se situa, avistam-se a ponta superior e a base dessa haste, em ângulos de 60 e 45 graus, respectivamente, qual a altura aproximada da escola, em metros?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma haste de 7 metros de comprimento apoiada verticalmente no telhado de uma escola. A partir de um ponto no solo onde a escola está localizada, observamos a ponta superior da haste com um ângulo de 60 graus e a base da haste com um ângulo de 45 graus. Nosso objetivo é encontrar a altura aproximada da escola.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de trigonometria, especificamente as funções de tangente, que relacionam ângulos de um triângulo retângulo com a razão entre os lados oposto e adjacente. Precisaremos identificar as distâncias envolvidas e aplicar as fórmulas trigonométricas adequadas.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que nos é dado:
  • Comprimento da haste da bandeira: 7 metros.
  • Ângulo de observação da ponta da haste: 60 graus.
  • Ângulo de observação da base da haste: 45 graus.
Precisamos encontrar a altura da escola, que é a distância vertical entre o chão e o ponto onde a haste está apoiada.

Passo 3

Imagine um ponto no chão de onde estamos observando. A altura da escola será representada por $ h $, e a distância horizontal desse ponto até a base da escola será $ d $.
Temos dois triângulos retângulos:
  1. Um com o ângulo de 45 graus, onde a altura é $ h $ e a distância é $ d $.
  2. Outro com o ângulo de 60 graus, onde a altura é $ h + 7 $ metros (altura da escola mais a haste) e a distância ainda é $ d $.

Passo 4

Vamos utilizar a função tangente, que em um triângulo retângulo é definida como:
tan(theta) = lado opostolado adjacente
Para o ângulo de 45 graus:
tan(45°) = hd
Sabemos que $ \tan(45°) = 1 $, então:
tan(45°) = 1

Passo 5

Agora, para o ângulo de 60 graus:
tan(60°) = h + 7d
Sabendo que $ \tan(60°) = \sqrt{3} $, substituímos:
tan(60°) = raiz3
E como já sabemos que $ d = h $, podemos substituir:
raiz3 = h + 7d

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para $ h $:
h
Multiplicando ambos os lados por $ h $:
raiz3 = h + 7h
Isolando os termos com $ h $:
h
Fatorando $ h $:
h cdot raiz3 = h + 7
Finalmente, isolamos $ h $:
h

Passo 7

Agora, vamos racionalizar o denominador para simplificar a expressão:
h = 7raiz3 - 1 times raiz3 + 1raiz3 + 1 = 7 (raiz3 + 1)(raiz3)^2 - (1)^2 = 7 (raiz3 + 1)3 - 1 = 7 (raiz3 + 1)2

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
raiz3 approx 1,732
Substituindo na expressão:
h = 7 (1,732 + 1)2 = 7 times 2,7322 = 19,1242 approx 9,562 metros

Resposta

A altura aproximada da escola é de 9,56 metros.

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