A haste (de 7 metros de comprimento) de uma bandeira está apoiada, verticalmente sobre o telhado de uma escola. De um ponto do plano horizontal onde a escola se situa, avistam-se a ponta superior e a base dessa haste, em ângulos de 60 e 45 graus, respectivamente, qual a altura aproximada da escola, em metros?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma haste de 7 metros de comprimento apoiada verticalmente no telhado de uma escola. A partir de um ponto no solo onde a escola está localizada, observamos a ponta superior da haste com um ângulo de 60 graus e a base da haste com um ângulo de 45 graus. Nosso objetivo é encontrar a altura aproximada da escola.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de trigonometria, especificamente as funções de tangente, que relacionam ângulos de um triângulo retângulo com a razão entre os lados oposto e adjacente. Precisaremos identificar as distâncias envolvidas e aplicar as fórmulas trigonométricas adequadas.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que nos é dado:
- Comprimento da haste da bandeira: 7 metros.
- Ângulo de observação da ponta da haste: 60 graus.
- Ângulo de observação da base da haste: 45 graus.
Precisamos encontrar a altura da escola, que é a distância vertical entre o chão e o ponto onde a haste está apoiada.
Passo 3
Imagine um ponto no chão de onde estamos observando. A altura da escola será representada por $ h $, e a distância horizontal desse ponto até a base da escola será $ d $.
Temos dois triângulos retângulos:
- Um com o ângulo de 45 graus, onde a altura é $ h $ e a distância é $ d $.
- Outro com o ângulo de 60 graus, onde a altura é $ h + 7 $ metros (altura da escola mais a haste) e a distância ainda é $ d $.
Passo 4
Vamos utilizar a função tangente, que em um triângulo retângulo é definida como:
Para o ângulo de 45 graus:
Sabemos que $ \tan(45°) = 1 $, então:
Passo 5
Agora, para o ângulo de 60 graus:
Sabendo que $ \tan(60°) = \sqrt{3} $, substituímos:
E como já sabemos que $ d = h $, podemos substituir:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para $ h $:
Multiplicando ambos os lados por $ h $:
Isolando os termos com $ h $:
Fatorando $ h $:
Finalmente, isolamos $ h $:
Passo 7
Agora, vamos racionalizar o denominador para simplificar a expressão:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Substituindo na expressão:
Resposta
A altura aproximada da escola é de 9,56 metros.