Calcule a área da superfície lateral e a capacidade de um cone de revolução de altura 9 cm, sabendo que sua área lateral vale o dobro da área da sua base.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone de revolução com altura de 9 cm. Sabemos que a área da superfície lateral desse cone é o dobro da área da sua base. Nosso objetivo é calcular tanto a área da superfície lateral quanto a capacidade (volume) desse cone. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria relacionados a cones, como área da base, área lateral, geratriz e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que vamos precisar:
  • Área da base (A_base):
    Abase = pi r^2
    Aqui, $ r $ é o raio da base do cone.
  • Área da superfície lateral (A_lateral):
    r
    Onde $ l $ é a geratriz do cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da borda da base.
  • Volume (V) do cone:
    Alateral = pi r l
    Com $ h $ sendo a altura do cone.

Passo 3

A questão nos informa que a área lateral é o dobro da área da base. Então, podemos escrever:
Alateral = 2 times Abase
Substituindo as fórmulas:
pi r l = 2 times pi r^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \pi r $ (considerando que $ r \neq 0 $):
pi r
Isso significa que a geratriz $ l $ é igual a duas vezes o raio $ r $.

Passo 4

Sabemos que a altura $ h $, o raio $ r $ e a geratriz $ l $ estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras no triângulo formado por esses segmentos:
h
Substituindo $ l = 2r $ e $ h = 9 $ cm:
r
l
Subtraindo $ r^2 $ de ambos os lados:
l^2 = r^2 + h^2
Dividindo por 3:
l = 2r
Então, o raio é:
h = 9

Passo 5

Agora que temos o valor do raio, vamos calcular a área da superfície lateral e o volume do cone.
Área da superfície lateral:
Alateral = pi r l = pi r times 2r = 2pi r^2
Substituindo $ r = 3\sqrt{3} $:
r = 3raiz3
Volume do cone:
Alateral = 2pi (3raiz3)^2 = 2pi times 27 = 54pi cm^2
Substituindo os valores:
V = 13 pi r^2 h

Resposta

A área da superfície lateral é 54pi cm² e a capacidade do cone é 81pi cm³.

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