Calcule a área da superfície lateral e a capacidade de um cone de revolução de altura 9 cm, sabendo que sua área lateral vale o dobro da área da sua base.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone de revolução com altura de 9 cm. Sabemos que a área da superfície lateral desse cone é o dobro da área da sua base. Nosso objetivo é calcular tanto a área da superfície lateral quanto a capacidade (volume) desse cone. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria relacionados a cones, como área da base, área lateral, geratriz e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que vamos precisar:
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Área da base (A_base):Aqui, $ r $ é o raio da base do cone.
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Área da superfície lateral (A_lateral):Onde $ l $ é a geratriz do cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da borda da base.
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Volume (V) do cone:Com $ h $ sendo a altura do cone.
Passo 3
A questão nos informa que a área lateral é o dobro da área da base. Então, podemos escrever:
Substituindo as fórmulas:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \pi r $ (considerando que $ r \neq 0 $):
Isso significa que a geratriz $ l $ é igual a duas vezes o raio $ r $.
Passo 4
Sabemos que a altura $ h $, o raio $ r $ e a geratriz $ l $ estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras no triângulo formado por esses segmentos:
Substituindo $ l = 2r $ e $ h = 9 $ cm:
Subtraindo $ r^2 $ de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Então, o raio é:
Passo 5
Agora que temos o valor do raio, vamos calcular a área da superfície lateral e o volume do cone.
Área da superfície lateral:
Substituindo $ r = 3\sqrt{3} $:
Volume do cone:
Substituindo os valores:
Resposta
A área da superfície lateral é
cm² e a capacidade do cone é
cm³.