Dados os vetores
do
, pede-se:
d) calcule as normas dos vetores
e o ângulo entre:
e
e
e
.
d) calcule as normas dos vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as normas dos vetores $ u = (1, 2) $, $ v = (-1, 3) $, $ w = (-2, -2) $ e $ m = (2, -3) $ no espaço $ \mathbb{R}^{2} $. Além disso, precisamos encontrar os ângulos entre os pares de vetores $ u $ e $ v $; $ w $ e $ m $; e $ u $ e $ w $. Para isso, vamos usar conceitos de norma de vetores e produto escalar para calcular os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor $ \mathbf{a} = (a_1, a_2) $ em $ \mathbb{R}^{2} $ é dada pela fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula para cada vetor.
Passo 3
Calculando a norma de $ u = (1, 2) $:
Passo 4
Calculando a norma de $ v = (-1, 3) $:
Passo 5
Calculando a norma de $ w = (-2, -2) $:
Passo 6
Calculando a norma de $ m = (2, -3) $:
Passo 7
Agora, vamos calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ é:
Onde $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ é o produto escalar dos vetores.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular o ângulo entre $ u $ e $ v $.
Calculando o produto escalar $ u \cdot v $:
Agora, aplicando a fórmula:
Então:
Passo 9
Agora, vamos calcular o ângulo entre $ w $ e $ m $.
Calculando o produto escalar $ w \cdot m $:
Aplicando a fórmula:
Então:
Passo 10
Por fim, vamos calcular o ângulo entre $ u $ e $ w $.
Calculando o produto escalar $ u \cdot w $:
Aplicando a fórmula:
Então:
Resposta
As normas dos vetores são:
Os ângulos entre os vetores são: