Dados os vetores u=(1,2), v=(-1,3), w=(-2,-2), m=(2,-3) do R^2, pede-se:
d) calcule as normas dos vetores u, v, w, m e o ângulo entre: u e v ; w e m ; u e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as normas dos vetores $ u = (1, 2) $, $ v = (-1, 3) $, $ w = (-2, -2) $ e $ m = (2, -3) $ no espaço $ \mathbb{R}^{2} $. Além disso, precisamos encontrar os ângulos entre os pares de vetores $ u $ e $ v $; $ w $ e $ m $; e $ u $ e $ w $. Para isso, vamos usar conceitos de norma de vetores e produto escalar para calcular os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor $ \mathbf{a} = (a_1, a_2) $ em $ \mathbb{R}^{2} $ é dada pela fórmula:
a = (a1, a2)
Vamos aplicar essa fórmula para cada vetor.

Passo 3

Calculando a norma de $ u = (1, 2) $:
u = (1, 2)

Passo 4

Calculando a norma de $ v = (-1, 3) $:
v = (-1, 3)

Passo 5

Calculando a norma de $ w = (-2, -2) $:
w = (-2, -2)

Passo 6

Calculando a norma de $ m = (2, -3) $:
m = (2, -3)

Passo 7

Agora, vamos calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ é:
theta
Onde $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ é o produto escalar dos vetores.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular o ângulo entre $ u $ e $ v $.
Calculando o produto escalar $ u \cdot v $:
u
Agora, aplicando a fórmula:
v
Então:
u cdot v

Passo 9

Agora, vamos calcular o ângulo entre $ w $ e $ m $.
Calculando o produto escalar $ w \cdot m $:
w
Aplicando a fórmula:
m
Então:
w cdot m

Passo 10

Por fim, vamos calcular o ângulo entre $ u $ e $ w $.
Calculando o produto escalar $ u \cdot w $:
u
Aplicando a fórmula:
w
Então:
u cdot w

Resposta

As normas dos vetores são:
|u| approx 2,24, |v| approx 3,16, |w| approx 2,83, |m| approx 3,61
Os ângulos entre os vetores são:
ang<=(u, v) approx 45^circ, ang<=(w, m) approx 78,5^circ, ang<=(u, w) approx 118,2^circ

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